Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

ETUDE DES COURB3ES PLANES. GAS PARTICULIER DES COURBES ALGEBRIQUES. 117
gn(eronus pour l'mistant les cleux premiers cas qui sont singuliers cle la
nmhme facon que les 30 et 20 de tout 'a l'heure.
Le point H nous donne donc un nombre fini de courbesi la. condition d'etre situ6 dans un certain domaine (H). Si nous envisageons alors
les n courbes d'espe'ce (E) passant par A, B,..., G, H, il est clair que la
donne'e d'uni nouveau point determinant J pr'is sur l'une ci'elles et
n'appartenant pas aux autres permettra de la distinguer et, partant,
de la dl'finIr exciusivement.
Au total, nous serons arrive's 'a determiner enticrenmnt une courbe,
d'un~e loi de generation donne'e, par l'obligation de passer par un certain
nombre de points du plan. Parmi ces ((points determinants )), dont la
connaissance remplace les donne'es, un certain nombre k, ceux que nous
avons de'signe's par A, B,...,~ G, H, sont 'a choisir arbitrairement dans
le plan on dans des domaines, fractions. du plan, determines par les
points ante'rieurs; ius constituent des parame'tres 'a deux dimensions. 11e
dernier J, a choisir seulemen -t dans une 'nfinite simple de points du
plan (l'ensemble des n courbes passant par A, B,..., H-), constitue un
parame'tre 'a liberte' restreinte.
Observons d'ilusqu'etre les points A, B,..., H, points determinnt
que nous appelierons pour simplifier entiers, et le point J. il n'y,, a pas Sur
la courbe de difference de nature; le ro'le particulier joue6 par J tient
uaniquement 'a cc qu'il a 6te considers par nous le dernier. Supposons
en eff et que nous avyons pris les points dans l'ordre A, B, C,..., Q, J, nous
nous serions trouve's en pre~sence d un certain nombre (fini) de courbes
de l'espe'ce (L), parmi lesquelles une co~ncidant avec C. C'est cette fois H
qui serait devenu le point determinant restreint.
On dit clue les k i points A, B,..., H, J ne sont pas independants par
rapport 'a la loi (L).
Avant d'aller plus loin, illustrons par deux exemples les re'sultats
ci-dessus.
10- Ellipse. -- Soit premierement une ellipse. La loi de generation de'fi
nissant l'espe'ce est Ia suivante:lieu des points tels que la Somme de leurs
distances 'a deux points fixes appele's foyers soit constante.
Des donne'es -commodes pour la construction de la courbe par des pro.
cc'd's tires de la G6ome'trie e'lementaire seront les deux foyers et le grand
axe. Mais nous pouvons aussi donner successivement
a. Un point d~terminant A et les deux foyers fixe's arbitrairement
b. Deux points d6terminants' A et B et un foyer F arbitraire. Le second
est alors h choisir sur la demi-hyperbole F' B - F' A = FA - FB;