Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIONS SIMPLES DU PLAN. II I
Lorscjue A" tourne. autour de a1, les autres droites de (C1") tournent
autour d'un point et de'crivent manifestement des gerbes ponctuelles
homographiques. Nous dirons que l'ensemble des gerbes (G") qui
alignent Q constitue un eicc)ntail.
Cela pos6, so',ient a1a, b1 b2,1 Cl 2, d d2 quatre couples propose's.
Prenons quatre droites arbitraires ABCD passant par a2 b2 c2 d2 et envisageons la correlative
ajA, bjB, c1C, d1D.
Choisissons une nouivelle droite D' passant par d2. Les couples a1 A,
b1 B, cl C, d1 D' diterminn uen velle corr'lation qui coupe la premiere suivant une certaine transformation quadratique. Celle-ci est
aliognee par un eventail de correlations (E) auquel appartiennent necessairement les deux pr'ce'dentes.
Soit e1 un nouveau point de (P1). Sa t~ransforme'e dans 1'6ventai1 (E)
tourne autour d'un certain point e'. Ii y a donc dans l'6'ventail une transformation, et une seule pour laquelle la transform~e' de e1 passe par un
point e2 fix6 'a l'avance- celle qui lui fait correspondre e'e2.
Laissant maintenant A et B fixes, faisons varier C. Pour chaque position de C, appliquant le re'sultat precedent, nous de'terminerons une position de D telle que la transformee E de el. passe par e2. Nous aurons ainsi
pour chaque droite C une transformation correlative telle que A, B, C
passeront par ab2c2 par d6finition et D, E par d2 e2 par constructLion.
Autrement dit, nous aurons formes un e'ventai1 (E') de correlations tel
cjue la quadratique aligne'e posse'de les couples a~a, ba 2,c eld~ ee.
Inrdisons un nouveau poin /dePetupon/2de P2. Un raisonnement identique au precedent nous montrera qu'une seule des
transf ormations de (E') f ait passer pa r /2 la transf orme'e de /1. Laissant A
fixe, faisant varier B et appliquant le me'me proce'de, nous obtiendrons
un eventail (E") tel que la, quadratique aligne'e posse'dera, en plus le
couple /1/2.
Ii reste 'a faire varier A; cela nous conduira 'a la determination d'un
eventail dont la quadratique aligne'e posse'dera les couples ala2, b1 b2,
Cc, d d2 e12 112e ~ 2
Cette fois 1'e'ventail ne de'pend plus que d'un seul parame'tre:celui-la'
in me qui definit dans 1'6ventail une de ses transformations, et l'obligallon de faire passer la transform~e d'un huitie'me point hi par un point
arbitraire h29 de'finirait une seule et unique correlation. La transformation quadratique aligne'e est parfaitement de'finie. Nous sommes done
conduits'an the'ore'me suivant