Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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I CHAPITRE If.

rectang~ulaires, portant, l'un deux ponsdube else y iques
par. rapport 'a tt, l'autre deux points doubles irnaginaires. Cette transf ormation f erait aussi correspondre 'a une circonf 6rence une autre circonf Trence. Enfin toutes les jumelaires passeraient par ies points cycliques
(eubiques circulaires).
Transformations du second ordre singuli~res. - En de'finissant
la courbe jumelaire d'un point, nous avons - observe' (In une droite
quelconque L e'tait coupee par sa conique transform~e en deux points a
et b, et nous avons- admis qu'ils n'e&aient pas en ge'neral des points
doubles. Cherchons ce qu'il adviendrait d'une transformation du second
ordre pour laquelle au contraire ces points seraient doubles sur toute
droite, et qui posse'derait par.suite soit une conique, soit deux droites
de points doubles.
i 0 Conique de points doubles. - Soicnt S cette conique, L une droite
quelconque et C sa transforimnee. L et C se coupent en deux pointsn
Fig. 53.
Lr
sn
et p qui sont des Foints doubles et appartiennent 'a S. Mais C et S se
coupent encore en ut et P, points doubles qui ne sauraient avoir leur homologue sur L, et qui par suite ne peuvent appartenir 'a C qu'en qualite'
de points singuliers.
Ainsi done, dans le cas d'une conique de ponsdoubles, deux des
points singultiers sont sur cette conique. Soit w le troisie'me; une droite
passant par w et coupant S en e et / se transforme en une droite passant
egalem ent par w et par e et f qui sont des points doubles, c est-a'-dire
en e~lee-meme.. Un point quelconque ain de el se transforme en un autre
point in' de la M&eme droite. Ces deux points de'crivent une involution