Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIONS SIMPLES DU PLAN.99
Ii re'sulte de cette proposition deux choses.
iO Que Fl'itu.de des cubiques p eu tre entie"rement faite en les envisageant comme jumelaires d'un de leurs points;
2-0 Que, inversement, on pent de'finir une transformation du second
ordre du plan par la connaissance d'une courbe cubique et par la fixation Sur elle d'un apex ()
En premier lieu, la generation d'une, cubique comme jumelaire montre
que (exception faite du cas du point double) on pent mener "a une pareilIe
courbe, par un de ses points, quatre tangentes en dehors de la tangente
au pintluimeme.
Les re'sultats obtenus tout 'a l'heure, qui font connaitel pit
de la courbe, alors que 9 Ia determinent, permettent d'enoncer diverses
propositions. C'est ainsi que
TfiPoRE'ME. -- Si lion me'ne d'un point d'une cubique les quatr-e tangentes ernanees de ce point, les points de rencontre des droites joignant deux
eti deux les points de contact sont aussi sUP la curbique.
Chacun de ces points de rencontre est pro jete' dus point initial sur la droite
joignant les deutx autres en an point appartenant a" la cabique, e~tc.
Appelons, pour la commodite' du langage, tan gentiet d'un point m
d'une cubique le troisii'me point ofi la tangente en. in conpe la courbe,
cotangentiels des points de la cubique ayant le me~me tangentiel. La premie're proposition ci-dessus peut S'enoncer
Quaand quatre points d'une cabique sont cotangenti-els, les points de concours des droites les joignant deux a' deax sont aussi sar la courbe.
Et la rebciprocque en est vraie Si nne cubique passe par 7 points,
clont 3 sont les points de concours des droites joignant les 4 autres, ces
derniers sont cotangentiels.
Ccci va nous montrer que les cubiques hoimographiquement distinctes
sont au plus uine double infinite. En effet, donnons-nous dans le plan
quatre points arbitraires cx, Pi, y, O3. Prenons Sur une cubique quelconque S
quatre points cotangentiels, a, b, c, di et conside'rons l'homographie plane:definie par les quatre couples act, b~, cy, d~'_. La transformb'e de S est

(I) On pent d~finir ainsi uno scale transformation du second ordre du plan, pourvu
qu'on lentende qwelconque. Car ces donne'es peuvent aussi conduire ti un~e infinit6
de transformations rayonnantes,- comme nons le montrerons au Chapitre V,. p.- 2o7..