Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE Il.

Nous allons rencontrer une nouvelle espe'ce de courbes autog~n-es, les
courbes jitmelaires.
Posons-nous a nouveau la question d~jh r~solue (p. C9) de trouver les points dui
plan a-yant me'me polaire par rapport h deux eoniques donn~es S et S'.
Soient in un point du plan, D sa polaire par rapport h 5, D' celle par rapport Lh S'.
Ces deux droites se eoupent en in', et nt et in' sont en eorrespondanee du second
ordre. Pour que mat it me'me polaire par rapport aux deux coniques, ii faut que D
et D' coincident. Gela aura lieu lorsque at sera situ6 en lun des points singuliers.
Nous trouvons 'a nouveau qu'il y a trois solutions, et nous savons cette fois quc les
points cherche's s'obtiennent comme, les sommets dui triangle harnionique des deux
coniques propos6es.
Courbes jumelaires. - Conside'rons une droite cjuelconque D. Une
transformation du second ordre lui fait correspondre une conique S circonscrite an triangle singulier et inversement. Cette courbe S coupe D
en deux points a et b. Chacun d'eux e'tant stir la droite et sur la conique,
son transforme6 doit e~tre dans le me~me cas. A prioril, ces points sont
doubles ou homologues entre eux...La droite D e'tant quelconcque ne renfermera pas en g~ne'ral de point
double; c'est done que a et b sont homologues. Toute droite dui plan
possede deutx points et deux seutlement qui, apre's la transformation, se
retrouvent sur elle-me'me; nous les nommerons ses points /urme1s.
Faisons tourner la droite D autour d'tnn de ses points in. Les points a
et b auront pour lieu une courbe que nous appellem,,ons la — ourbe junelaire de in, et nous nommerons cc point son apex.
Une telle courbe, d'apre's sa definition, se transforme n~cessairement
en elle -Meme, c'est-a'-dire est autoge'ne pour la transformation. Elle
passe par in une flos:lorsque D occtiupe la position nmm' in' 6tant l'homologue du point in. Elle coupe donc toute droite passant par in en trois
points:in et ses deux points jumel6s.
Nous allons montrer qu'il en est de me'me pour toute droite dii plan.
Soient en effet L une droite quelconque, h un de ses points. Si ce point
appartient 'a la jtumelaire de in, son bomologue h' doit e'tre
i0 Sur la conique C transformee de L:
20 Sur la droite inh.
Mais h' est conj'ugu6 de It par rapport 'a toutes les con iques cm faisceaul
des points doubles, en particulier par rapport h celie S qui passe par ni.
Envisageons le lieu des conjugues It' de It par rapport -h S lorsque inh
tourne c ' est une autre conique 5' passant aussi par rn (1).

(1) On lc voit aussit~t en remarquant que si L 6.tait la droi-te de Finfini, S' et S