Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIONS SIMPLES DUJ PLAN. C

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polaire, et leur intersection f era connaltre le piteobtenu an mov\Ien
de constructions a' la re'gle settlennent.
Les deux coniques- accessoires que nouLs venons de determiner par
-cinq points de'finissent les quatre points doubles de la transformation,
mais la construction de ceux-ci n' est pas en genera 'r'alisable avec la
r~le et le compas. Si deux des couples donne's e'taient des onsduls
les deux autres deviendraient construisibles (re'gle et compas); trois
i6tant donne's, le quatrie'me s'obtiendrait avec la re'gle seule.
On verrait aussi facilement que la donne'e d'un couple de points conjugues pen etre remplace'e par la donne'e d'un point singulier de la transform ation.
Droites et coniques autog~nes.- Une droite passant par uin
point singulier it se transforme en uine droite passant par le ma'nze point
singulier et decrivant avec elle une involution. Les rayons doubles
sont ceux qni passent par les points doubles uij et uki. Il y a donc dans
une transformation de second ordre six droites autoge'nes et six seulement qui sont:
Cherchons s'il y a des coniques autogei'nes. Elles devront passer par
deux points singuliers, par exemple it et v'. Soit S uine telle conique
coupant ui/' en u dont l'homologue est quelque part sur cw, elle~ doit
couper cette droite en un autre point qui soit double, c'est-a'-dire eni
on j. De meme elle coupera uki en k 011 1, mais elle ne saurait posse'der
t la- fois i et k on j' et 1 puisclu'e'lle passe par c,. Les coniques autoge'nes
passant par u et P doivent donc appartenir 'a l'un des faisceaux
uctil ou ucvjk.
Inversernent, toute conique d'un tel faisceau est autoge'ne Icar sa transforme'e: i est uine conique, puisqu'elle passe par u et P, et elle contient
ces memes points; 2-0 passe par i et 1 on / et k qui sont doubles; 30 enfin
a Meme tangente qu'elle aux points doubles. Ii y a lieu, en effet, de
remarquer que toute courbe passant par i, par exemple, donne ur~e
branche de courbe pas~ant par ce Meme point et que leurs tangentes
sont en involution; commne de plus elles coincident dans trois directions i/u, ikc, jiw, elles coincident toujours.
En re'sume', les. coniques autoge'nes sont toutes celles des six faisceaux
ponctuels