Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIONS SIMPLES DU PLAN. 8

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la consid~ration du point de rencontre de Al avec U' montre que A2
doit passer par it'. On voit ciue
Une droite passant par i n point sin gulier se trans/orwfe en la droite
sin gulte're lhomologite c/c celiti-ci et une ciroite i'ariable passant par le point
singuilier de rn.rrem leitre clans l'auttre cliwision.
Onl voit aussito't cjue les droites Al et A2 homologues se -correspondent
d'une mani're univoque.et de'rivent autour de it 'et it' deux gerbes
homographiques. On pent aussi eonside'rer comme homographiques
i'une de ces gerbes et la division ponctuelle de la droite si~ngulie~re de
I'autre plan. Ces homographies posse'dent les couples homologues
ill' Oi W' IvCC IP ou it IP',
Iuv ou V avec vc ou at' '
Determination. -Ce dernier r~sultat nous mnet en mesure de re'aliser tre's simplement une correspondance quadratique en supposant
connus les deux triangles singutliers et un couple de points homologues al a2.
Soit en effet in, un point quelconcque. Joignonis urn1, et aussi ital
et itt' K. La diroite at'mi inconnue peut se construire grace hi la relation
De me'me, nous saurions construire ' nelepint 112 r6suLltera de
ces deux droites dont ii est l'intersection. Ces diverses constructions se
realisent ac'ec la r~gle settle et I'on voit qu'une transformation quadratique fait correspondre 'a un plan reel la totalit6 d'un autre plan reel.
Fig.Z4j

La correspondance pent e~tre, etendue sails peine aux e'lements complexes du plan. Soient en effet dans (PI) deux points imaginaires conjugue~s q1 et q'1 porte's par la droite rielle Di. Nous pouvons les supposer
de'finis sur celle-ci par la coniq'ue C1 (unique et bien de'termine'e) qui