Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

82 Anfangsgründe der Flächentheorie.
mögen sich längs einer Kurve (E schneiden. Es sei a) der Schnittwinkel von ~l und ~2 längs S fest, b) es sei ( auf H Krümmungslinie, und es sei c) ( auf o, Krümmungslinie. Dann folgt stets aus
zwei dieser Voraussetzungen a) b) c) die dritte. 0. Terquem, Nouvelles Annales de mathematiques 9, 1852, S. 402.
4. Ein von Beltrami angegebenes duales Gegenstück zum Satz
von Terquem. Eine Ebene E rolle auf zwei krummen Flächen t%
und o,; a) die Entfernung entsprechender Berührungspunkte von W
mit r und - sei fest, b) der Ort der Berührungspunkte auf: sei
Krümmungslinie von ~l, c) der Ort der Berührungspunkte auf 2 sei
Krümmungslinie von 2'. Aus zwei dieser Annahmen folgt die dritte.
E. Beltrami 1864, Opere I, S. 130.
5. Darbouxs Umkehrung des Satzes von Dupin (1866). Hat man
zwei Scharen von Flächen, die sich in Kurven senkrecht durchsetzen,
die auf der einen Flächenschar Krümmungslinien sind, so läßt sich
eine dritte Flächenschar finden, die die beiden ersten zu einem dreifachen Orthogonalsystem ergänzt. G. Darboux, Lecons sur les systemes
orthogonaux..., 2. Aufl., Paris 1910, S. 10.
6. Ein Satz von Beltrami über koaxiale Drehflächen. Zu einer
Schar von Drehflächen, die aus einer von ihnen durch Verschiebung
längs der Achse entsteht, werde eine neue koaxiale Drehfläche konstruiert, die die Flächen der Schar senkrecht durchschneidet. Das
Krümmungsmaß der neuen Fläche in einem Punkt ist dann entgegengesetzt gleich dem Krümmungsmaß der durch diesen Punkt hindurchgehenden Fläche der Schar. E. Beltrami, 1864, Opere I, S. 200.
7. Parallelflächen. Geht man von einer Fläche r(u, v) dadurch
zu einer Parallelfläche über, daß man längs der Flächennormalen das
feste Stück n abträgt (- + n ), so erhält man für das Krümmungsmaß K und die mittlere Krümmung H dieser Parallelfläche die Ausdrücke
K 1- 2 1nH +n2K'
(141) H-nK
1-2 nH+ n2K'
Zwischen zusammengehörigen Normalen und Hauptkrümmungshalbmessern bestehen die Beziehungen
(142)
R =- Ri -n, R - R, -n.
Führt- man das zuerst von J. Steiner und später besonders von
H. Minkowski betrachtete Integral der mittleren Krümmung
(143) M - Hdo