Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

76 Anfangsgründe der Flächentheorie.
II (I~L - du + IVN dv)2 = 0,
(121) y/L. VNN = M
ist. Es gibt also nur eine Schar von Asymptotenlinien, die die Fläche
schlicht überdeckt (wenn wir den Fall des identischen Verschwindens
von II jetzt ausschließen). Wählen wir diese Kurven als Parameterlinien v = konst., so wird L = M 0 und nach Weingarten - = 0.
Somit ist
(122) ( )u = 0
oder
(123) p(v) (v)
Die Ableitung nach v ergibt
(124) v -Pv
Also ist unsre Fläche die Einhüllende der Ebenenschar (123), d. h.
wirklich eine Torse. Umgekehrt kann man für eine Torse, etwa
nach (105), immer L = M=0 erreichen. Somit sind die Torsen
durch die Identität K 0 gekennzeichnet.
~ 47. Satz von Beltrami und E3nneper über
die Windung der Asymptotenlinien.
Da die Schmiegebenen einer Asymptotenlinie auf einer Fläche
mit den Tangentenebenen der Fläche übereinstimmen, fallen die Binormalen der Kurve mit den Flächennormalen zusammen (3 = ).
Deshalb läßt sich die Windung einer Asymptotenlinie -leicht berechnen:
(125) flY!- 2 -(1 \)~ d~3 d2 III
Nach ~ 41 (86) war
KI - 2 H II+ II=- 0.
Da längs einer Asymptotenlinie II 0 ist, so folgt
(126) (1) I -K.
Diesen Zusammenhang zwischen der Windung der Asymptotenlinien
und dem Gaußischen Krümmungsmaß der Fläche haben E. Bellramio)
(1866) und A. Enneper (1870) angegeben. Auf geradlinige Asymptotenlinien ist die Formel nicht ohne weiteres anwendbar.
Über das Vorzeichen der Windung läßt sich durch eine genauere
Untersuchung feststellen, daß die Windungen der beiden durch einen
5) E. Beltrami, Opere matematiche I (1902), S. 301.