Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

74 Anfangsgründe der Flächentheorie.
~ 45. Konjugierte Netze.
Die konjugierten Richtungen auf einer Fläche lassen folgende
geometrische Deutung zu. Gehen wir von einer Flächenkurve aus,
und betrachten wir die Torse, die von den Tangentenebenen der
Fläche in den Punkten der Kurve umhüllt wird! Die Erzeugenden
dieser, der Fläche längs unserer Kurve umschriebenen Torse sind zu
den Tangenten der Kurve konjugiert. Das können wir etwa so einsehen. Ist t ein in der Tangentenebene beweglicher Punkt, t der
Berührungspunkt und $ der Vektor der Flächennormalen in X, so ist
die Gleichung der Tangentenebene
(112) (D-r) 0.
Schreiten wir längs unserer Flächenkurve fort, so ergibt sich nach
der bekannten Regel für die Einhüllende dieser Tangentenebenen
die zweite Gleichung
(113) - d1. + (D - ): 0,
oder, da das erste Glied wegfällt, - wenn man noch t - - -
setzt
(114) ö. d - 0.
Ausführlich geschrieben nach (19)
()u-t- + öV bv) * (ztzdu + -vdv)
=- {Ldu6u +M(du6v+dvöu)+Ndv6v} = 0.
Das ist genau unsre Bedingung (101) für konjugierte Richtungen.
Diese Konstruktion konjugierter Richtungen gestattet, auf jeder
Fläche ein Netz konjugierter Kurven herzustellen. Es läßt sich nämlich die Beziehung zwischen Parallelkreisen und Meridianen so verallgemeinern: Die Berührungslinien aller Kegel, die einer Fläche
umschrieben sind, und deren Spitzen auf einer Geraden liegen, bilden
zusammen mit den Schnittlinien der Fläche mit den Ebenen durch
dieselbe Gerade ein konjugiertes Netz auf der Fläche.
Dafür, daß die Parameterlinien ein konjugiertes Netz bilden,
hatten wir die Bedingung M = 0 oder
(115) (v V) = 0
in ~ 43 abgeleitet. Diese letzte Bedingung (115) ist sicher erfüllt,
wenn 6v = 0 ist, wenn also r die Gestalt hat
(116) = (u)+ s().
Solche Flächen, die besonders von S. Lie studiert worden sind, nennt
man "Schiebf/lchen" oder,,Translationsflächen", da sie durch Parallel