Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 44. Asymptotenlinien auf geradlinigen Flächen. 73
wo P, Q und R nur von v abhängen. Man pflegt eine solche Differentialgleichung nach dem italienischen Geometer J. Riccati zu benennen.
Aus der Form dieser Gleichung kann man leicht ablesen, daß vier
Lösungen u k(v); k = 1, 2, 3, 4 festes, d. h. von v unabhängiges Doppelverhältnis besitzen:
(108) D =- u - -:u 4 konst.
U — 3 U2 —24
Dazu braucht man nur zu zeigen, daß
dlg D -1-u " U2 'U3 U -1 4 + U2 U4
(109) d Ig D = - 3
v ) dv U — U u% —%1 u31-U4 2 1 -u4
verschwindet. In der Tat erhält man unter Benutzung der Gleichung (107) z. B.
1-3 = P( + u3-)+2O.
*l - U3
Daraus folgt die Richtigkeit von (109).
Geometrisch bedeutet unser Ergebnis, daß die neue Schar von
Asymptotenlinien die alte Schar, also die geradlinigen Erzeugenden,
nach festen Doppelverhältnissen durchsetzt. Sind beide Scharen von
Asymptotenlinien geradlinig, so erhält man geradlinige Flächen zweiter
Ordnung, deren bekannte Eigenschaften man hier bestätigt findet.
Es bleibt noch der ausgeschlossene Sonderfall zu berücksichtigen, daß
(110) (u) = 0
identisch verschwindet. (103) ergab
(111) u-= -, - %.- l5t.O
Diese Vektoren liegen für alle u in einer Ebene, wenn nach (110)
^, % und ~v in einer Ebene liegen. Die Bedingung (110) bedeutet
also, daß beim Fortschreiten längs einer Erzeugenden unserer Fläche
die Tangentenebene der Fläche sich nicht um die Erzeugende dreht,
sondern fest bleibt.
Eine geradlinige Fläche, die längs jeder Erzeugenden von einer
festen Ebene berührt wird, soll eine ~Torse" heißen.
Die für (^iv) =- 0 nur von v abhängigen Tangentenebenen
bilden nämlich im allgemeinen die Schmiegebene einer Raumkurve
oder die Tangentenebenen eines Kegels oder Zylinders. Damit ist
die Übereinstimmung der eben aufgestellten Erklärung der Torsen
mit der in ~ 37 hergestellt. Die durch (106) gekennzeichneten allgemeineren geradlinigen Flächen nennt man "windschief".