Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 43. Asymptotenlinien. 71
Seine eigentliche Quelle hat dieser Satz allerdings nicht in der
hier durchgeführten Rechnung, sondern in dem Prinzip von Huyghens.
Die Spiegelung (n - 1) ist unter Brechung mit enthalten.
Auf die aus der Optik stammende Theorie der Strahlensysteme
werden wir im 7. Kapitel eingehen.
~ 43. Asymptotenlinien.
Die Linien auf einer Fläche, längs derer die zweite quadratische
Grundform verschwindet
(98) Ld'u + 2Mdudv N dv2 =
nennt man "Asymptotenlinien" oder gelegentlich auch,Haupttangentenkurven" der Fläche. Die Tangenten an die Asymptotenlinien sind
die Asymptoten oder Wendetangenten der Fläche. Der Normalschnitt
durch eine solche Tangente hat dort einen Wendepunkt. Man spricht
deshalb auch von "~Wendelinien" der Fläche. Die Differentialgleichung (98) läßt sich nach (19) ausführlich so schreiben:
(99) (udu- d -+2 dudv-+-vdv, a,,,) = 0.
Ist die Fläche hyperbolisch gekrümmt (K< 0, LN - M2< 0), so
gehen durch jeden Flächenpunkt zwei reelle Asymptotenlinien hindurch.
Die Tangenten an die Asymptotenlinien fallen mit den Asymptoten
der Indikatrix von Dupin (vgl. ~ 34 (25)) zusammen, liegen also symmetrisch bezüglich der Hauptrichtungen der Fläche, die mit den.Achsen
der Indikatrix zusammenfallen. In parabolischen Flächenpunkten
(LN - -M2 = 0) gibt es, wenn II nicht identisch verschwindet, nur
eine Asymptotenrichtung. Im elliptischen Fall (K > O, LN - M2 > 0)
werden die Asymptotenlinien imaginär.
Eine mehr geometrisch-anschauliche Erklärung der Asymptotenlinien ist die folgende:
Die Asymptotenlinien einer Fläche sind die Kurven auf der Fläche,
deren Schmiegebenen gleichzeitig Tangentenebenen der Fläche sind.
In der Tat bedeutet
(100) (=F 6 tb SV) 0,
daß die Schmiegebenen einer u-Kurve (d. h. v = konst.) gleichzeitig
Tangentenebenen sind. Dann ist aber nach (19) L =0, also tatsächlich für dv = 0 die Differentialgleichung (98) erfüllt. Ebenso auch
umgekehrt.
In innigem Zusammenhang mit der Erklärung der Asymptotenrichtungen steht die der,konjugierten" Richtungen. Zwei Richtungen
du: dv und öu: v auf der Fläche in einem Flächenpunkt u, v nennt
man konjugiert, wenn sie durch die Asymptotenrichtungen in dem