Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 37. Krümmungslinien. 61
Um noch eine zweite Erklärung der Krümmungslinien geben
zu können, führen wir den Begriff der ~Torse" ein. Eine Fläche,
die als Ort einer einparametrigen Geradenschar angesehen werden
kann, nennt man eine,geradlinige Fläche" oder auch eine "Regelfläche" in unglücklicher Übersetzung des französischen "surfaces
reglees". Insbesondere sollen die geradlinigen Flächen, die Tangentenflächen von Kurven sind, und dazu noch die Kegel- und Zylinderflächen als ~Torsen" bezeichnet werden. Jetzt erklären wir:
Eine Flächenkurve ist Krümmungslinie der Fläche, wenn die
Flächennormalen längs der Kurve eine Torse bilden.
Ist t der Berührungspunkt mit der (im allgemeinen) von den
Normalen umhüllten Raumkurve, so muß
(47) = &+R
sein, wo R skalar ist; und dtp und m müssen linear abhängen oder
es muß
(48) dX + R d = i
sein. Dieselbe Gleichung besteht auch in dem Sonderfall, wo die
Torse ein Kegel oder Zylinder ist. Multipliziert man (48) skalar
mit e, so folgt = 0. Die Formel (48) geht in die über, die die
Franzosen nach Olinde Rodrigues (1816) zu benennen pflegen:
(49) d + Rd d=..
Multipliziert man skalar mit:u und tu, so bekommt man nach (19)
das gleichwertige Formelpaar (43). Daraus
ergibt sich die Übereinstimmung mit der
vorhergehenden Erklärung der Krüm-
mungslinien und die Bedeutung von R
und /.
Führen wir also das orthogonale Netz
der Krümmungslinien als Parameterkurven u, v = konst. ein, so muß zunächst 0 1
rV = F = 0 sein und nach (45) ME=O,
MG- 0, also, da E, F, G nicht alle
verschwinden können (EG - F2 >0),
muß M 0 sein.
(50) F = M = 0
ist notwendig und hinreichend dafür,
daß die Krümmungslinien Parameter- Fig. 15.
kurven sind.
Auf einer Drehfläche kann man sofort die Krümmungslinien ermitteln. Es sind das nämlich die Parallelkreise und Meridiane der