Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 36. Gauflens Theorema egregium. 59
dieser Wurzel W nicht abhängt. Nach ~ 34 ist K > 0 für einen
Flächenpunkt mit elliptischer, = 0 für einen Flächenpunkt parabolischer Krümmung und < 0 für hyperbolische Krümmung.
~ 36. Gaußens Theorema egregium.
Daß K von der Irrationalität W (32) nicht abhängt, sieht man
am deutlichsten, wenn man in
K LN-M2
W 2
für L, N, M die Werte aus (19) einsetzt:
(33) K w4= {- {(- 0:,^)( ) - ( JUV)3}
Man kann nun, wenn man auf den Klammerausdruck zweimal den
Multiplikationssatz für Determinanten anwendet, leicht das berühmte
Ergebnis von Gauß herleiten, daß K allein aus E, F, G und den Ableitungen dieser Funktionen nach u, v bis zur zweiten Ordnung bestimmbar ist. Man findet
| (uUSVV) (^u4'6) (KuzitV) 2fV (4V U) (E2ivv) \
K=,1/ (Eu) E F - (uV,) E F
[ (~.)W F G (2VKV) F G
oder
) {(tUU&V V)-V (Jt- It F6) (Kuu.) 0 (F'u v,E) (K'u v)}
(34) K = W (uv) E F - (uu) E F
l( ) (~u~ 'u) F G )(^^F) F G
Aus der Erklärung
u - E, 2=v - - F, - G
folgt aber durch Ableitung
(35) u = E~
(36) U SV F 2;
(3 7) ^2:2, F~. = | ~,
(38) v-~,r ~ 2|;
(39) ~~Vr~=F~- Ev
(40) E.vv - Fv- G
Leitet-man (38) nach vt und (39) nach v ab, so erhält man durch
nachträgliches Abziehen
(41) r2 Gl -+G v-F EI-F
uu4v iuv 2 2 uv V v