Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

54 Anfangsgrüinde der Flächentheorie.
~ bedeutet die ~Poldistanz" vom "Nordpol" W (0, 0, 1) und p die
"geographische Länge". =_ konst. sind die "Parallele", p = konst.
die,Meridiane". Die Pole sind
singuläre Stellen unsrer Parameter<" < 9 darstellung, da K: agp für - = 0, n
verschwindet, also die Bedingung
/ ----- - \ (3) nicht mehr erfüllt ist. Diese
Bedingung scheidet also nicht nur
singuläre Stellen der Fläche aus, wie
S:/ I'- i E A etwa die Spitze eines Drehkegels,
sondern auch Singularitäten der Parameterdarstellung. Für das Bogenl | / element unsrer Kugel erhält man
Qh g (11) ds d = d +(sindcp)2,
für den Normalenvektor
Fig. 12. (12) ~=~.
~ 33. Die zweite Grundform.
Wenn man die längs einer Flächenkurve gültige Identität
53 0
ds
unter Berücksichtigung der ersten Formel Freneis (~ 6) nach s ableitet, so folgt
__~ _ d. d d
(13)
~(13ö) -o-~ dds ds'
wenn ~e den Einheitsvektor auf der Hauptnormalen unsrer Flächenkurve und d ihren Krümmungshalbmesser bedeutet. Den Ausdruck
(14) - dW. d= - ("Ldu + Xvdv) (L du + v/i V)
= Ldu' + 2 M diu dv + N dv2
führt man nun als zweite Grundform der Flächentheorie ein. Setzen
wir kurz
Edu2 + 2Fdudv + Gdv" = I,(15) Ldu- +2Mdudv +- Ndv2 II,
so schreibt sich die Gleichung (13)
(16) 2 e I,o I
Aus (14) ergeben sich durch Koeffizientenvergleichung die Werte
der L, M, N
(17) L- -,N - (,,v
2 1f _ - t^ e. i. ' x A. p A