Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

3. Kapitel.
Anfangsgründe der Flächentheorie.
Im ersten Kapitel waren die bekanntesten Lehren aus der Krümmungstheorie der Kurven zusammengestellt worden. Hier soll Entsprechendes für die Lehre von der Krümmung der Flächen geschehen,
wie sie nach den ersten Untersuchungen von L. Euler (1707-1783),
dann insbesondere von G. Monge (1746-1818) in seinem klassischen
Werk,L'application de 'analyse a la geometrie", das 1795 zu erscheinen begonnen hat, begründet worden ist. Die tiefergehenden
Gedanken von Gaußens,Disquisitiones circa superficies curvas" (1827)
werden in dem vorliegenden Kapitel nur zum geringen Teil verwertet
und bilden die Grundlage des vierten Kapitels. Während das Wesentliche der Kurventheorie schon in den Formeln von Frenet enthalten
ist, wodurch sie etwas einförmig wirkt, ist die Flächentheorie ungleich
vielgestaltiger und anziehender.
~ 32. Die erste Grundform.
Für die meisten Untersuchungen ist die zweckmäßigste analytische Darstellung krummer Flächen die Parameterform. Wir setzen
(1) x = xk (u, v); k = 1, 2, 3
oder vektoriell abgekürzt
(2) & S (U, v).
Man spricht von der Gaußischen Parameterdarstellung. Die Funktionen xk (u, v) setzen wir als analytisch voraus, also als entwickelbar
in konvergente Potenzreihen in (u - 0), (v - v). Dabei sollen in der
Regel nur reelle Parameterwerte u, v und reelle Funktionen xk zugelassen werden.
Betrachtet man auf der Fläche die ~Parameterlinien" v =konst.,
u = konst., die man entsprechend auch u-Linien und v-Linien nennen
kann, so wollen wir die Tangentenvektoren an diese beiden Kurven,
nämlich den Vektor