Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 28. Ein Hilfssatz über Kurven auf der Kugel. 45
~ 28. Ein Hilfssatz über Kurven auf der Kugel.
Es sollen im folgenden einige schöne Sätze über räumliche
Kurven mit der konstanten Krümmung Eins hergeleitet werden, die
in Zusammenhang mit Untersuchungen von K. Weierstraß in den
achtziger Jahren von H. A. Schwarz gefunden worden sind, und deren
Kenntnis der Verfasser einer mündlichen Mitteilung von C. Caratheodory
verdankt. Als Vorbereitung werde folgendes bewiesen.
Hilfssatz. Eine Kurve von der Länge 1 <n beginne im Nordpol
der Einheitskugel. Es sei c die Poldistanz des Schwerpunktes der
honzogen mit Masse belegten Kurve. Dann ist stets
<2
und nur dann gleich 1: 2, wenn die Kurve Teilbogen eines Meridiankreises ist.
Zum Beweise nehmen wir den Kugelmittelpunkt zum Ursprung
und die Richtung zum Nordpol als x.-Richtung eines rechtwinkligen
Achsenkreuzes. Dann verschieben wir die auf unserer Kurve befindlichen Massen in den Ebenen x - konst. unverändert nach einem
im Nordpol beginnenden Meridianhalbkreis. Wir behaupten zunächst
daß für den so belegten Kreisbogen die Poldistanz a1 des Schwerpunkts größer ist als die für die ursprüngliche Kurve (ao1 a). In
der Tat! Es ist
V( fJx dm)2 + (Sf2 dm)
tg ce - f3dm'
fX3 dm
Darin ist wegen 1< n7 der Nenner positiv, d. h. die Hauptmasse
u nserer Kurve liegt auf der nördlichen Halbkugel, denn um vom
Nordpol zum Aquator zu gelangen, muß man mindestens den Weg n: 2
zurücklegen. Bei unserer Verschiebung der Massenelemente dm bleibt
der Nenner fest; vom Zähler kann man aber einsehen, daß er wächst,
(54) (fJx dm)2 + (fx2 dm)2 _ (fVxi2 + x22dm)2.
Führt man nämlich diese Integrale formal in Doppelintegrale über,
also in leicht verständlicher Bezeichnung beispielsweise
(Jx dm)2 = fif x1, dm dm,
so nimmt die zu beweisende Ungleichheit die Gestalt an
ff (1 x1 + x2 2) dm dm, < ffIVx + 1 2 /x2 + x 22 dmdm.
Zur Bestätigung braucht man nur zu zeigen, daß
(55) (X1,x + X2,X2) < (x1 + X-2) (X1 + X2)
ist. Dazu genügt es zu beachten, daß
(eXi+-Xi)2 x(i= 1, 2)
eine positiv definite quadratische Form in e, e ist, was zwischen den
Koeffizienten der Form genau die Beziehung (55) zur Folge hat.