Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

44 Extreme bei Kurven.
folgt
+t0
1
(50) -fu) g (u) du = 2 a o + a (~ß + k ß)
-Jt
Somit ergibt sich aus (48), wenn man die Reihenentwicklungen (47)
einsetzt, nach (49)
r L \2
(51) Y 1k2 (ah + ak,2 + bk2 + bk 2) 2 ') 2 )
Erklärt man anderseits den Flächeninhalt unserer Kurve durch das
Randintegral
+ T
(52) F -Sx1 du
so erhält man durch Einsetzen der Reihen (46), (47) wegen (50)
(53) Zk(a b.' - ak b) = F.
1
Aus den gefundenen Formeln (51), (53) folgt aber
L -2 FF - {(kak - bk)2 + (kak' + bk)2 + (k2 -1) (bk +- bk'2)}.
Darin ist aber offenbar die isoperimetrische Ungleichheit
L - 4 zF > 0
enthalten. Man erkennt, daß das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn
al' + b1 = 0, a - b' = 0,
ak ak - bk bk ~ 0; k =2, 3,...
Dann haben die Entwicklungen (46) die Form
x - a0 + a1 cos u + a1' sin u,
2 - a0' cos u + aI sin u
und stellen einen Kreis dar. Damit ist ganz allgemein gezeigt:
Bei allen geschlossenen, streckbaren ebenen Kurven gilt zwischen
Umfang L und dem durch (52) erklärten Flächeninhalt F die Beziehung L2 - 4 tF O. Es ist nur dann L2 - 4 nF = 0, wenn die
Kurve ein Kreis ist.
Der vorgetragene Beweis stammt von A. Hurwitz aus dem
Jahre 19026). Wegen der benutzten Hilfsmittel aus der Theorie der
trigonometrischen Reihen vergleiche man ein neueres Lehrbuch über
diesen Gegenstand7).
6) A. Hurwitz, Quelques applications geometriques des series de Fourier;
Annales de l'ecole normale (3) 19 (1902), S. 357-408, bes. S. 392-394.
7) Etwa Ch.-J. de la Vallee-Poussin, Cours d'Analyse, tome II, Paris 1912,
S. 165.