Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

40 Extreme bei Kurven.
XV xo so könnte man die Funktion v (s) in der in der Fig. 6 gezeichneten Art wählen, so daß
f vds nahezu = ö (h +- ha),
fxvds nahezu = ö(h, xl h x2)
wird. Ist also x, xZ2, so kann man h,, h2 so wählen, daß öL = 0
und 6F + 0 wird, entgegen der Voraussetzung.
Wer wegen der nicht analytischen Wahl von v(s) in Fig. 6 Bedenken hat, kann sich leicht eine analytische, etwas verwickeltere
Funktion herstellen, die dasselbe leistet.
Gibt es also unter "allen" geschlossenen Kurven der Ebene mit
vorgegebenem Umfang eine mit größtem Flächeninhalt, so muß für
sie = konst, d. h. die Kurve muß ein Kreis seinl). Hier bleibt
also eine Existenzfrage offen. Ferner kann man den isoperimetrischen
Satz noch in sehr verschiedenem Umfang beweisen, je nach den
Voraussetzungen, die man über die zur Auswahl zugelassenen Kurven
macht2).
~ 26. Beweis von?Trobenius3).
Wenn die Kreislinie wirklich die isoperimetrische Eigenschaft
hat, so kann man diese Tatsache folgendermaßen fassen. Zwischen
Flai4sninT'tat F uni Umfang L eines Kreises besteht die Beziehung
(42 a) L2- - 4,F - 0.
und für jede andere geschlossene ebene Kurve ist
(42b) L2 - 4F> 0.
Für diesen Satz soll hier ein sehr einfacher Beweis vorgetragen
werden, den man G. Frobenius verdankt, bei dem aber zur Auswahl
nur die Eilinien zugelassen werden.
Es sei e eine nach links herum umlaufene Eilinie, (p die äußere
Parallelkurve im Abstand p, deren Tangenten also von den gleichsinnig parallelen Tangenten an e den festen Abstand p haben. Offenbar ist e wieder eine Eilinie4). Es sei ferner (* der nach links um1) Es ist nämlich der Krümmungsmittelpunkt in diesem Fall ein fester Punkt:
d d
- (x 1- Q') =0, s (x2 +- x,') =0 nach ~ 9 (85).
2) Unter recht allgemeinen Voraussetzungen findet man den Beweis in
dem Büchlein des Verfassers "Kreis und Kugel" (Leipzig 1916) geführt. Dort
finden sich auch Literaturangaben.
3) G. Frobenizs, Über den gemischten Flächeninhalt zweier Ovale, Sitzungsberichte der Königl. Preuf. Akademie. Berlin 1915 (1), S. 387-404.
4) Die Beziehnung zwischen der Eilinie ( und der Parallelkurve ep kann
man sich etwa so deutlich machen. Es sei in der Bezeichnung von ~ 9 (83)
x1 sin r- x2 cos = h (r)