Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 24. Bestimmung der Extremalen unsrer Variationsprobleme. 37
Die zweite Differentialgleichung, die für ebene Kurven (a = 0) von
selbst erfüllt ist, läßt sich integrieren. Es ist
dp' da
2a-^+sdst ds
da + 2 d O.
(26) a=
Damit ist die Windung der ~Extrs-maln" unseres Variationsproblems
bestimmt. Als Extremalen bezeichnet man die Kurven, für die ö6 = 0
ist, für die also die Differentialgleichungen (25) gelten.
~ 24. Bestimmung der Extremalen unsrer Variationsprobleme.
Radon hat bemerkt, daß man die gefundenen Differentialgleid dx
chungen zusammen mit d 99 ' - so schreiben kann
(27) ds ~dsl * ds
d d d T.,
ds (X j, t9) =+ X*- d s
(27) d d ) (X p - p) + a Ee
ds \ ~~ds
d s f ) - ds -
Diese drei linearen, homogenen Differentialgleichungen haben wie
die Frenetformeln (~ 13) eine schiefsymmetrische Matrix. Also gilt
d s { t + (dcs ), ( ') } -
ds{( )2 (ds^)2 jc)2 O
und
(28) (xp' - )2 + s) 2 +( )2 a2 -Hier kann man x als unabhängige Veränderliche nehmen und ds: d x
als Funktion von x berechnen. Somit ist die Differentialgleichung (28)
durch eine einzige Integration ("Quadratur") lösbar, also auch umgekehrt x als Funktion von s zu bestimmen. Da nach (26) o(s) bekannt ist, so sind damit die natürlichen Gleichungen der Extremalen
ermittelt.
Aber noch mehr! Die Formeln (27) haben nicht nur die schiefsymmetrische Gestalt der Frenetformeln, sie sind sogar, wenn man
für x, o wieder 1:, 1 t schreibt, mit den Frenetformeln identisch.
Deshalb und wegen (28) kann man das Achsenkreuz so wählen, daß
(29) t'- x8 - 1 dqs' 3 c 1= a
\^9) ^13 - a, 23 -a ds 33,a nop