Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 18. Evoluten, Evolventen. 27
und X, so handelt es sich darum, Normalen von (E) so anzuordnen,
daß sie Tangenten einer Kurve (S*) werden. Setzen wir entsprechend
(152') *= S + u +
so wird
(153) s (t e )d* + ( X ) 2 + ( 3 +- ) e3
Sollen die Vektoren g* - und d**: ds linear abhängen, so muß
zunächst
(154) ue =
sein, d. h. die zum Punkt X gehörigen Evolutenpunkte r* liegen auf
der Krümmungsachse (~ 10) von r. Ferner muß sein
(155) t '3+ T — =
I u 3 3
oder
(156) - us e 1
Daraus folgt
(157) arctg -- arctg- ' ds
U3 U3 8
Somit ist
(158) u- ctg Jf
Entsprechend der hier auftretenden Integrationskonstanten hängen
die Evoluten
(159) * = + E { + 3 (ctg d +
noch von einer Konstanten ab. Der Winkel, unter dem man zwei
verschiedene Evoluten von S aus sieht, ist unveränderlich. Insbesondere
gilt für ebene Kurven
(160) s= + e + CQe.
Es gibt also eine einzige ebene Evolute (c 0) einer ebenen Kurve.
Die übrigen sind Böschungslinien, deren Tangenten gegen die Ebene
von (X) feste Neigung haben.
~ 19. Isotrope Kurven.
Es ist, selbst wenn man nur geometrisch anschauliche Ergebnisse
herleiten will, doch zweckmäßig, gelegentlich auch imaginäre Kurven
zu betrachten, also die Funktionen xk(t) als komplexe, analytische
Funktionen der komplexen Veränderlichen t = u+ iv mit gemeinsamem Existenzgebiet vorauszusetzen. Für diese imaginären Kurven,
die, wenn wir ~reelle Dimensionen" zählen, Träger von zweifach un