Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

24 Kurventheorie.
setzen. DurchAbleitung von (130) folgt nach Frenet und wegen (129),(1 31)
\sin ö cos -
(132) si -- - — = 0 oder r=- tg,
d. h. bei einer Böschungslinie stehen Krimmung und Windung in
festem Verhältnis.
Ist umgekehrt (132) erfüllt, so ist
(133) (1 cos ~ +:3 sin 0) =0,
also die Richtung
(134) e = s1 cos & + e3 sin #
und der Winkel
(135) el=-cos
unveränderlich, unsere Kurve also eine Böschungslinie.
Wir wollen uns die Böschungslinie auf eine Ebene senkrecht
zu e projizieren. Der Normalriß sei (s):
(136) E — (~e)e.
Daraus folgt nach (129)
(137) '= S - ecos,
(138) -
Ferner
(139) ~2 - sin2, d -sin t, =s sin 0.
ds
Somit ist
d =" (d~s ),
(140) d (.
ds2 ds- Osin ~
Man kann also setzen
(141) 2 = 2 und Q= sin2.
~ 16. Böschungslinien auf einer Kugel.
Soll man auf einer Kugel vom Halbmesser R die. unebenen
Böschungslinien ermitteln, so kann man zunächst die Formel (96)
von ~ 11 heranziehen. Nämlich
a __,. i R
Nach (132) ist = ---tg0, also
02(1 + q~2- tg 09) -- R,
0' tg 0 /R-,
od 't
de tg9- ds
VR2 e2