Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

20 Kurventheorie.
co = konst. sein. Da die Vektoren e:* und d*: ds gleichgerichtet
sind, folgt aus (105) und (106)
(108) e =-0,
cos co sin co
also eine lineare Gleichung zwischen Krümmung und Windung:
a sin co, cos cW
(109) a + = sin o.
Für co = n/2 kommen wir auf den im vorigen Paragraphen behandelten Fall der Kurven mit fester Krümmung zurück. Schließen wir
den trivialen Fall ebener Kurven, der für sinw o=0 eintritt, aus, so
können wir für
a cotg co = b
setzen und (109) in der Form schreiben
a b
(110) +a 1.
Eine solche Beziehung muß also für jede Kurve eines Bertrandpaares erfüllt sein. Wenn man die Schlußweise umgekehrt durchgeht,
erkennt man die Bedingung (110) auch als hinreichend. Für eine
Schraubenlinie (,, = konst.) gibt es unendlich viele Beziehungen (110)
und entsprechend unendlich viele Schraubenlinien, die die erste zu
einem Bertrandpaar ergänzen.
~ 13. Natürliche Gleichungen.
Es handelt sich darum, ob durch Angabe der Funktionen =?(s),
r = r (s) eine Kurve im Raum, abgesehen von Bewegungen, eindeutig
bestimmt werden kann. Für den Fall analytischer Kurven war das
schon in ~ 6 (77) mittels der kanonischen Darstellung festgestellt
worden. Macht man nur Differenzierbarkeitsvoraussetzungen, so kann
man den Eindeutigkeitssatz folgendermaßen herleiten.
Nach Frenet genügen die Koordinaten:ik der Vektoren di des begleitenden Dreibeins den linearen, homogenen Differentialgleichungen
mit schiefsymmetrischer Determinante
d elk e2k de2k e lk-k 3k d %3k 2 k
(111) ds ds ~ 7 ds Z
Angenommen, wir hätten außer der Kurve X (s) noch eine zweite (s),
deren i denselben Gleichungen (111) genügen. Dann folgt aus der
schiefen Symmetrie der Frenetformeln, daß
(112) (klk + 2 + h 3k 3k) o
ist. Bewegen wir nun die Kurve (s) so lange, bis das zur Stelle s = 0