Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 12. Bertrandkurven. 19
Ferner durch Ableitung von (100) nach s
ds ~ ( ) + T
oder
(101)
Bildet man das innere Quadrat", so folgt
Bildet man das "innere Quadrat", so folgt
(102) 6*2 =2 konst.
Ferner ist
(103) D * * * + Q*2* = - E* =.
Die Kurven (X) und (t*) haben also beide die gleiche feste Krümmung
und jede ist der Ort der Krümmungsmittelpunkte für die andere.
Die Formeln (93) lassen noch eine andere Deutung zu. Die
erste ist bei veränderlichem 5 die Gleichung der Normalebene unsrer
Kurve (s). Die beiden ersten Gleichungen zusammen ergeben daher
als Schnitt benachbarter Normalebenen die Krümmungsachse, auf
der t und 8 liegen. Nimmt man noch die dritte hinzu, so erkennt
man, daß ~ Schnittpunkt dreier benachbarter Normalebenen ist.
~ 12. Bertrandkurven.
In den Kurvenpaaren mit fester Krümmung, die im letzten Paragraphen betrachtet wurden, haben wir ein Beispiel eines Kurvenpaares
mit gemeinsamen Hauptnormalen. Alle derartigen Paare hat zuerst
J. Bertrands) ermittelt, und zwar auf folgende Weise.
Es sei r (s) die eine Kurve des Paares,
(104) F* + a,
die zweite. Durch Ableitung mit Benutzung der Frenetformeln folgt
(105) d*=(1 --- a a+ + 3 a
Da dieser Tangentenvektor auf e2 senkrecht stehen soll, muß jedenfalls a' = 0, also a konstant sein. Bezeichnen wir den Winkel zwischen
l und dem Einheitsvektor el* in der Tangente an (S*) mit C, so ist
(106) *=- 5: cosco + -a sin co.
Daraus folgt durch Ableitung
(107 dl ds* e, ds_ * s CosCO sinco dcosco, dsin cw
(107) ds* ds e* ds 2 ds -+ J ds
Sollen also die Hauptnormalen e2 und e$* zusammenfallen, so muß
3) J. Bertrand, Memoire sur la theorie des courbes ä double courbure, Paris,
Comptes Rendus 36 (1850), und Liouvilles Journal (1) 15 (1850), S. 332-350.
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