Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 10. Krimmungsmittelpunkt. ~ 11. Schmiegkugel. 17
~ 10. Krümmungsmittelpunkt.
Kehren wir zu räumlichen oder "gewundenen" Kurven zurück,
halten wir aber die Voraussetzung t" + 0 fest! Soll die Kugel mit
dem Mittelpunkt t) und dem Halbmesser a an der Stelle s = s0 mit
der Kurve (s) drei zusammenfallende Punkte gemein haben, so muß
die Reihenentwicklung
(89) f(S) = ((s))- 2 a2
nach Potenzen von s - s0 mit den Gliedern dritter Ordnung beginnen,
d. h. es muß für s = so
f(s)=, f'(s)= 0, f" (s)= 0
sein. Das gibt nach den Frenetformeln
a) )2 a2
(90) b) E,
c) (E )+ I + =0.
Nach (90b) liegt der Mittelpunkt t in der Normalebene, nach (90c)
oder (t)- F) - = Q hat der Normalriß von t auf die Hauptnormale
die Entfernung Q vom Ursprung. Setzen wir also von t) voraus, daß
es in der Schmiegebene liegt, so haben wir:
(91) | _-g+_ _.
Wir wollen den Punkt t in der Schmiegebene, den Mittelpunkt
der Kugel "durch drei benachbarte" Kurvenpunkte von (s) den
Kriümwmungsmittelp'unkt nennen. Damit ist eine geometrische Deutung
für den ~Krümmungrshalbmesser" e, den reziproken Wert der Krümmung
gefunden. Da t) - = Q o ist, weist der Hauptnormalenvektor 2y von
S nach dem Krümmungsmittelpunkt t) oder in entgegengesetzter Richtung, je nachdem Q > 0 oder 9 < 0 gewählt ist.
Die Schnittgerade der Ebenen (90b) und (90c), d. h. mit andern
Worten den Durchschnitt "benachbarter" Normalebenen pflegt man als
"Krümmnrungsachse" der Kurve zu bezeichnen. Sie steht im Krümmungsmittelpunkt auf der Schmiegebene senkrecht.
~ 11. Schmiegkugel.
Wir wollen jetzt durch vier benachbarte Punkte von (s) eine
Kugel legen, b sei ihr Mittelpunkt, R ihr Halbmesser. Dann muß
(92) g(s) = (g_ -) - R2
gleichzeitig mit den Ableitungen bis zur dritten Ordnung Null sein.
B 1las c h k e Differentialgeometrie. 2