Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 8. Kinemat. Deutung von Frenets Formeln. ~ 9. Vierscheitelsatz. 15
Sein Geschwindigkeitsvektor wird für ds - dt nach den Frenetformeln
- + (? - T. + 4 S
Daraus folgt nach (80)
1: 1
(81) b=, + e 3.
Wir finden also:
Die Komponenten des Drehvektors iür das begleitende Dreibein
einer Raumkurve sind: die Windung in der Tangentenrichtung und die
Krümmung in der Binormalenrichtung.
Wenn man umgekehrt Krümmung und Windung durch die Formel (81) einführt, so ergeben sich rückwärts sofort die Formeln Frenets:
d- = b ><x e -
ds1
(82) d X2 = b x +T,
t ds bx =
Diese anschauliche Herleitung stammt von G. Darboux.
~ 9. Ebene Kurven, Vierscheitelsatz.
Bei ebenen Kurven kann man, wenn erst über den positiven
Sinn der Zählung der Bogenlänge entschieden ist, der Krümmung ein
bestimmtes Vorzeichen zuschreiben. Dazu kommt man folgendermaßen. Es sei E (s) eine Kurve der Ebene x == 0. Wir setzen
(83) xl'= cos, x — = sin, x 3 0
und wählen als Hauptnormale den Einheitsvektor
ex" = cos ( + -) - sin = - x',
(84) j ex" = sin(r + ) +cosT = + x,
e)xa -0.
Wir haben also, wenn wir die verschwindende x -Koordinate im
folgenden weglassen, für die Ebene als Ersatz der Frenetformeln
(85) QX - Xe' ex2 - X+1'
Das Vorzeichen des dadurch eindeutig bestimmten Q kehrt sich um,
wenn man das Vorzeichen von ds umkehrt.
Wir wollen von den Formeln (85) eine Anwendung machen und
zum erstenmal einen Lehrsatz aus der Differentialgeometrie "im großen"
beweisen. Es sei X (s) eine geschlossene ebene Kurve, deren Tangentenbild ein einmal stets im gleichen Sinn umlaufener Kreis ist. Eine