Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

14 Kurventheorie.
In der Tat! Berechnen wir für unsre Schraube von ~ 1 (14)
Krümmung und Windung, so erhalten wir:
X = - a sin t, x - acost, = - a sin t,
x -== - a cost, x = -a sint, x, - acost,
x3 =-b, X3 ==, X - 3 0,
und daraus
&'=a +b2, F =a2, -=0,
(i' ) = a2b.
a) b) Somit nach (79):
1i n a
+ ~ a,2 + b2
1I b
r a2 + b2
Die Windung ist also > oder < 0,
je nachdem b:< 0 ist, was den Fig. 3a
und 3b entspricht. Entsprechend kann
man sich die Bedeutung des Vorzeichens
von 1:z für eine beliebige Kurve, etwa
Figur 3. an der kanonischen Darstellung (77) deutlich machen.
Spiegelt man unsre Kurve an einer Ebene, indem man das
Vorzeichen einer der Koordinaten x, umkehrt, so ändert die Windung
ihr Vorzeichen.
~ 8. Kinematische Deutung von Frenets Formeln.
Dreht man einen starren Körper um eine Achse um den Ursprung o in der Zeit dt durch den Winkel d9p, so bezeichnet man
d(p:dt als die Winkelgeschwindigkeit der Drehung. Es sei p ein
Punkt des Körpers, = dp: dt sein Geschwindigkeitsvektor. Ferner
tragen wir auf der Drehachse den "Drehvektor" b so ab, daß seine
Länge gleich dcp: dt und sein Sinn so ausfällt, daß die Drehung um
den Vektor nach links herum erfolgt. Dann schließt man aus der
geometrischen Deutung des Vektorprodukts (~ 3) leicht auf das Bestehen der Gleichung
(80) b x p.
Denken wir uns jetzt an den Ursprung einen starren Körper angehängt, von dem drei Achsen parallel zu den Einheitsvektoren ek
einer Raumkurve verbleiben. Einen Punkt dieses Körpers können
wir in der Form darstellen:
t) == Ui + Z21 e2 + 3 e3