Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

12 Kurventheorie.
ist, erhält man durch nochmalige Integration
(74) 3 '. = konst.,
d. h. die Kurve liegt in einer Ebene, denn (74) ist eine lineare Gleichung in, x x2, 3.
Wir hatten r' =:. Durch Ableitung folgt " ==? l 5': Q und
weiter
(75) r "'=- -' +v2 e2 '<
Nimmt man für X die Reihenentwicklung
(76) = +20s2 + Ot" +
und setzt man für 0', [o", o '" die gefundenen Werte ein, so folgt,
wenn man die (ei)s=o der Reihe nach mit den Koordinatenachsen zusammenfallen läßt, die sogenante kanonische Darstellung für unsre
Kurve in der Umgebung von s =0:
- 6 Po2
=-s * - seo' s_+3...,
(77) =*+ - S +.0.
X8-=* * - - — s3 + -...
Da die Reihen rechts beliebig fortgesetzt werden können, wenn man
Krümmung und Windung in ihrer Abhängigkeit von der Bogenlänge s
kennt, so folgt, daß hierdurch und durch die Festlegung der Anfangslage unsres,begleitenden Dreibeins" ',:2, 53 die Kurve eindeutig
2,3 3
a) b) c)
Fig. 2.
bestimmt ist. Außerdem kann man aus der kanonischen Entwicklung
ablesen, wie die Normalrisse (senkrechten Projektionen) unsrer Kurve
auf die i:k-Ebenen im Ursprung aussehen. Man vergleiche die beigegebene Fig. 2.