Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

10 Kurventheorie.
Wir wollen nun drei Einheitsvektoren zu jedem Kurvenpunkt r (s)
einführen: 1. den Tangentenvektor
(58) ' (s)= (s),
2. den Hauptnormalenvektor
(59) et" (S) = e' () = =e (s)
und 3. den Binormalenvektor $3 (s). Wir erklären ihn durch die Formel
(60) = ei x, = Q ('x ").
f3 steht in der Tat auf 1, %, senkrecht. $: ist ein Einheitsvektor;
denn nach der Identität von Lagrange [~ 3, (43)] und wegen e1-2 = o ist
(61) 232 = 12 (h- )2 1.
Schließlich folgen die Vektoren e, i,, so aufeinander wie die drei
Einheitsvektoren auf den Koordinatenachsen, d. h. es ist
(62) (e e e3) = (1 x 2) 3 = 3- = + 1 -
Aus e x > =- folgt übrigens für unsere drei Einheitsvektoren auch
e 2x > -1i und e, x e i-,.
Um die Krümmung zu erklären, haben wir vom Ursprung aus
die Vektoren F (s) abgetragen und die Bogenlänge ds1 des entstehenden,Tangentenbildes" berechnet. Entsprechend erklären wir jetzt
die,,,Windung" oder "Torsior" dadurch, daß wir vom Ursprung aus
die Binormalenvektoren ~ (s) abtragen. Ihre Endpunkte erfüllen das,Binorzialenbild" von (s). Den Quotienten der Bogenelemente
ds 3 /- 1
(63) = |
wollen wir als ~Windung" bezeichnen. Für ebene Kurven ist,: =konst.,
also die Windung Null. Somit ist die Windung ein Maß für die Abweichung unsrer Kurve S (s) von ihrer Schmiegebene.
Durch (63) ist 1: T wieder nur abgesehen vom Vorzeichen erklärt.
Wir können jedoch diese Unbestimmtheit beseitigen. Der Vektor 3.'
nämlich läßt sich sicher aus den linear unabhängigen Einheitsvektoren
1, 2', <3 kombinieren:
(64) =3' = a + a + a2 -4-+ 3.
Nun ist e3 ein Einheitsvektor, also 32 - und daraus:33' = a = 0.
Ferner ist nach (59)
(65) '=
und somit
d 1
(66) ( ) ( ~) e= 3) + e = 03,
also wegen:2 3 0:1l3' = a, = 0.
Es bleibt also
(67) 3 = ae3