Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

8 Kurventheorie.
t3 durch eine Veränderliche t, so erhält man eine Funktion von t,
die für t t2 und t == t verschwindet, also für eine Zwischenstelle
2 < t3' < t3 verschwindende Ableitung hat:
1 Xl (t l ) X (tl) t,
(49) 1 xl(t2) x,(t2) A, 1 t, t22 =0.
0 xl'(t13) x2(t3') 0 1 2t3'
Ersetzt man jetzt t2 durch eine Veränderliche t, so entsteht eine
Funktion, die für t - - t t = t, Null wird und deren Ableitung somit
für t1 < t' < t2 verschwindet:
1 Xl(tl) X2(t1) 1 1 1 t2
(50) 0 xl'(t2') x'(t') - A3 0 1 2t,' 0.
0 xl'(t3') x2'(t3) 0 1 2t3'
Ersetzt man jetzt linker Hand t3' durch t, so erhält man eine Funktion, die
für t = t' und t t' Null wird, und somit ist für t1 < t2' < t3" < t3' < t1
1 x,(t) x2(tl) I t1 tl
(51) o xA'(2') x'(t) -A3 0 2' =0.
0 xl" (t3") X1"(t31") 0 2
Damit ist die gewünschte Abschätzung für den Bruch A3 gewonnen,
nämlich, wenn die Bezeichnung etwas vereinfacht wird,
(52) A -l ' 1
(52) 1As = 2 x (t,) x,"(t'")
wobei t1 < t' < 1 t" t gilt. Schätzt man in unserer Ebenengleichung
A{y- x (ti)} + A, {y, - x2(t)} + A3 {y - x3(tl)} 0
auch die Brüche A1 und A2 entsprechend ab, so erkennt man sofort,
daß beim Grenzübergang wirklich die Gleichung (t - S, r', ") = 0
entsteht wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der Ableitungen.
Das Verfahren geht ursprünglich auf H. A. Schwarz (1880) zurück,
in der hier entwickelten Weise auf T. J. Stieltjes (1888)1). Durch
eine leichte Verallgemeinerung ergibt sich folgender Mittelwertsatz.
Haben die Funktionen xi(t) Ableitungen bis zur Ordnung n - 1
für a < t < b und ist a < t < t <... 1 t = b, so ist
x: (t~) he, (l).. X, (Ö )
1 (t) 2 (t2)...,n(t,)......... X1 (r1) X2 (t1) X. (1,)
(n) X2(n) '.. Xn(tn) x t ( r) t'( ). *. X n (r,)
11 q...tv / t ^ ^.-l!.. (. 1)!.......
1 t... t 2"- (n) ~2 ln-) ( ) (n -i n)
~. 1) H. A. Schwarz, Abhandlungen II, Berlin 1890, S. 296-302,
1 tn. I tn T. J. Stieltjes, Oeuvres II, Groningen 1918, S. 110-123.