Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 112. Stereographische Linienkoordinaten. 215
sein. Da die reelle analytische Funktion f beliebig ist, folgt, daß die
analytische Funktion
i 93t+ Z z', q- + l
in den sechs Veränderlichen t, t, z; r, r, Q verschwindet, wenn die
letzten drei zu den ersten drei konjugiert-imaginär sind. Daraus folgt
aber durch analytische Fortsetzung, daß die Funktion überhaupt
identisch verschwindet. Denn ist z. B.
(r - is, r - is) = 0
für reelle r, s, so folgt daraus auch das Verschwinden für komplexe r, s.
Somit folgt das Verschwinden der vier Funktionaldeterminanten
=(~' ) - (, V) 0,
a (t, T) O (t, i)
( 7a) P (y7. yL)-O a (gp ) 1) 0
(t, T) ' (t, r)
Wäre nun im Gegensatz zu den Annahmen (167), (168) das Funktionenpaar fp, y etwa von dem Paar t, r von Veränderlichen abhängig,
so folgte aus den beiden oberen Gleichungen in (172), die linear in
Tpt, t sind, und aus den beiden linken Gleichungen (172), die in
Tp,,,T linear sind, auch noch
/17.3) \@ (v, vY) ((p, )
(173) 0 0,
Nach (172), (173) wären aber die Funktionen p9, y voneinander abhängig entgegen der Voraussetzung.
Damit ist also gezeigt: Soll durch eine analytische Zuordnung
(r,, r, s) - (r*, s*, r*, S*)
jeder analytischen Beziehung zwischen r + is und r ~ is zwieder eine
solche zwischen r*+ -is*, * + i's* entsprechen, so muß die Zuordnung die Form (167) oder (168) habenl').
Zur Gültigkeit des Beweises sind ziemlich erhebliche Voraussetzungen über die Existenzbereiche der auftretenden analytischen
Funktionen erforderlich.
12) Das hat schon E. Study behauptet, Sugli enti analitici, Rendiconti di
Palermo 21 (1906), S. 345-359. Für seinen etwas allgemeineren Satz hat
Study dem Verfasser kürzlich einen Beweis mitgeteilt.