Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 108. Brennflächen eines Strahlensystems. 205
Somit können wir setzen
(104) (u,v) a= Xa- a,
wo Q(u,v) skalar ist. Durch Ableitung folgt
(105) Zu = aX + a X du - Qu a- cay,
(106) = a X a + a a- - Q av
Die Orthogonalität u a == a = 0 gibt die Forderungen
(107) e-= (a at a),
(108) = (a av a).
Hieraus folgt die Integrabilitätsbedingung Po"v = vu oder
(109) (a a av) (a a, a);
denn es ist
(110) (aaa) =
wegen
(111) (a a o, (aa) =o, (a) - 0.
Multipliziert man nun die Determinanten in (109) mit (aau av) + 0
nach dem Multiplikationssatz für Determinanten und führt man für
die auftretenden skalaren Produkte die Abkürzungen (77) ein, so
findet man
(112) (a aav) - (a a aä) = 2 h (a a, a).
Damit ist unsre Behauptung begründet.
~ 108. Brennflächen eines Strahlensystems.
Nehmen wir eg - f2 0, so können wir die Torsen zu Parameterflächen machen, wenn wir das Strahlensystem analytisch voraussetzen
und uns nicht scheuen, gegebenenfalls (k > 0) imaginäre Parameterflächen zu verwenden. Für die Kehlpunkte der Torsen, d. h. für die
Berührungspunkte mit dem Hüllgebilde haben wir dann nach (48)
'(a- au a~)
^ - a Xa+ a,
(113) a.
(a a, a)
=aX- -- aoa.
Nun ist in unsrem Fall e — == 0 und somit nach (77)
(11(4)aa (a,) = + (au2) (a= a),
(a a a,) (a a, a=) - (a,2)(a a,).
Daraus folgt
(a. au)
a- =a xa + (a,",) a,
(115) (aau a)
(aa, av)
— a2 (aa) a,
(11 6), (aua,)+ (a, n~) f
(116) 8-51i - a-a - - ( a-a)a,
(a au a,) (a au av)
(117) 1 1 ~+a (a,a = - (~, a).
m- _ -- a 25 a), a.
(117) a2