Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 3. Schmiegebene. 5
so bestimmen sie dieselbe Ebene wie die Vektoren
t und 2( - = (t)+ (...).
Durch den Grenzübergang h -0, k ->0 erhält man daraus die
Vektoren
S (t) und F"(t),
die, wenn sie nicht gleichgerichtet sind, die Grenzlage der Ebene
durch drei benachbarte Kurvenpunkte festlegen. Man bezeichnet diese
Ebene als Schmiegebene. Ist t) ein beliebiger Punkt in ihr, so liegen
die drei Vektoren r', " und - S in einer Ebene, was sich durch
das Verschwinden der Determinante
Yi - X x1 xl
(31) y2- x2 x2' x2" - 0
y3 - X3 X3 X3"
ausdrückt, wofür wir zur Abkürzung
(32) (1 t- Y,)= O
schreiben. (31) oder (32) ist also die Gleichung der Schmiegebene.
Wo pflegt man in der Mechanik als "Beschleunigungsvektor" zu
bezeichnen, so daß demnach die Schmiegebene durch Kurvenpunkt,
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor festgelegt ist.
Ein Ausnahmefall tritt nur dann ein, wenn die Vektoren x' und H"
gleichgerichtet sind, wenn es also zwei Zahlen a und b gibt, di.
nicht alle beide Null sind, so daß a' + b"- = 0 ist, oder, was dasselbe besagt, wenn alle Determinanten
(33) XiX - x Xk (i, k==1,2, 3)
gleichzeitig verschwinden. Um auch das in Vektoren leicht schreiben
zu können, bezeichnet man den Vektor mit den Koordinaten
Yi = Xe' x3" 3 x a
(34) --,1 1,,,
y2 = xa'xl" - xl'x '"
Y -- X1l x 2 x1
als Vektorprodukt oder äußeres Produkt von r' und J" und schreibt
etwa'
(35) -t'XE'l
Geometrisch ist der Produktvektor l so festgelegt: 1. it steht auf
', "- senkrecht; 2. die Länge von b ist gleich dem Flächeninhalt des
Parallelogramms mit den Seiten r', r"; 3. der Sinn von p ist so zu
wählen, daß die drei Vektoren Ö', r", tO ebenso aufeinanderfolgen wie
die Koordinatenachsen (Fig. 1).