Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

200 Liniengeometrie.
Daraus folgt durch Ableitung mittels der Formeln von Frenet aus ~ 6
(69)
(69) al, (cos _ )in
Somit ist
(70) a, -,
Also ist die Kurve (t) auf der Fläche
(71) 9()=a + (t( X a,)
tatsächlich Kehllinie. Um also eine geradlinige Fläche mit p: q = konst.,
p q = konst. zu konstruieren, braucht man nur durch die Punkte g
einer Böschungslinie die Erzeugenden mit der Richtung
a =: cos ü + q3 sin '9, =_ konst.
zu legen.
Dabei ist der Winkel t so zu wählen, daß die Richtung a nicht
raumfest ausfällt. Das Dreibein der:, ist mit dem der ak starr verbunden. Eine Gerade (M, die mit den 9k starr zusammenhängt, ist
also auch mit den e, in unveränderlichem Zusammenhang. Somit
gibt es bei jeder Böschungslinie einen mit dem begleitenden Dreibein
der ~ starr verbundenen Kegel mit der Spitze im Kurvenpunkt, dessen
Erzeugende bei der Bewegung des Dreibeins Torsen umhüllen. Diese
Eigenschaft ist für die Böschungslinien kennzeichnend. Damit sind
wir auf ein von P. Appell herrührendes Ergebnis zurückgekommen3).
Nach (60) ist für. beliebige geradlinige Flächen die Gerade
(72) () g^t 3? + P+Q2.
das, was dem sphärischen Krümmungsmittelpunkt auf der dualen
Kugel entspricht, also etwa die,Kriimmungsachse" der geradlinigen
Fläche I(t). 23(t) könnte man dann die Evolutenfläche zu 91(t) nennen.
Setzt man in S für 91f, S9, P, Q die Werte aus (23), (24), (43)
ein, so erhält man
(73), t QI+2 1, Q=
Bezeichnet man den dualen Winkel zwischen 91 und 3 mit
0 = -- e0, so erhält man aus (72)
s Q (2 ' 9t")
ctg 0e = ctg - -
sin2 v~ P (92
(73)3 Sf
ctg, =-=qp-q.
3) P. Appell, Archiv f. Math. u. Phys. (1) 64 (1879), S. 19-23.