Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

194 Liniengeometrie.
und in
(22) dc-t"'
dgp a'. a'
haben wir die einfachste Differentialinvariante der geradlinigen Flächen,
die man seit M. Chasles (1793-1880) mit dem langweiligen Namen
~ Verteilungsparameter" zu belegen pflegt, und dc wir kürzer den,Drall"
der Fläche nennen wollen. Der Drall wird nur bei den Zylindern
a'2 =0 unbrauchbar (wenn wir uns, wie erwähnt, auf Reelles beschränken). Sein identisches Verschwinden ist für die Torsen kennzeichnend. Die Zylinder schließen wir im folgenden aus. Geradlinige
Flächen, die keine Torsen sind, hatten wir als ~windschief" bezeichnet.
Jetzt führen wir ein unsre geradlinige Fläche begleitendes Dreibein ein, das erstens aus der Erzeugenden 91 = 91 besteht und
zweitens aus der Geraden
(23) 2 -, P=-V9',
endlich drittens aus der Geraden
(24) 9X3 1 >< x.
Um die geometrische Bedeutung von 91/ und 92a festzustellen, beachten
wir, daß aus 92" = 1 durch Ableitung nach t
(25) 19'= 0
folgt. Wir behaupten nun zunächst, daß 913 das gemeinsame Lot
benachbarter Erzeugender 91 und 9 - 91' dt ist. Tatsächlich! Wir
haben dazu nach (18) nur zu bestätigen, daß
(26) 913 1= — 0, 93(91+ ' 9 dt) =913 dt ==0
ist, und daß 9Ia der Normierungsbedingung genügt:
(27) 9 1 (1> x - ( 1) l.
Den Schnittpunkt. der drei Geraden unsres Dreibeins 9, 91, 9/t,
also den Punkt auf 9L, der von der Nachbarerzeugenden die kleinste
Entfernung hat, werden wir als,Kehlpunkl" der Fläche bezeichnen
und den Ort r (1) dieses Punktes als ihre,Kehllinie". Statt Kehlpunkt und Kehllinie sagt man wohl auch,Hastplpunkt" und ~Striktionslinie". Die Ebene durch 911, 91 nennt man ~Asym~Iptotenebene"
unsrer Fläche.
Um den Punkt g zu finden, setzen wir zunächst
(28) %,-= a, +, ak
und drücken den Vektor X durch die drei paarweis senkrechten Einheitsvektoren ak aus:
(29) a = a- a, + a- a. + 3 a3.