Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

4 Kurventheorie.
als Gleichungspaar der Tangente in den laufenden Koordinaten Yi
angesehen werden kann. Die Tangentenformeln (21)- (23) werden
unbrauchbar, wenn der Geschwindigkeitsvektor '-= 0 ist, d. h. wenn
alle x{' = 0 sind (i =1, 2, 3). Das kann an der Parameterdarstellung
liegen oder auch daran, daß unsre Kurve an der betreffenden Stelle
ein besonderes Verhalten zeigt. Wir wollen im folgenden ' =+ 0 annehmen.
Denkt man in (22) t und r veränderlich, so hat man, wenn unsre
Kurve nicht geradlinig ist, die Parameterdarstellung einer Fläche vor
sich, die von den Kurventangenten überstrichen wird. Wie bei der Parameterdarstellung einer Kurve ein einziger Parameter t zur Anwendung
kommt, so bei der Darstellung einer Fläche deren zwei: r, t.
Für t = s haben wir x.'2 -... = 1, d. h. der Geschwindigkeitsvektor hat die Länge Eins, er ist ein Einheitsvektor. Wir wollen, um
dies kürzer schreiben zu können, eine gebräuchliche Abkürzung einführen. Sind r, t) zwei Vektoren mit den Koordinaten xij yi, so soll
der bilineare Ausdruck
(24) 1 X Yi + x2 Y + X3 = |
als skalares oder inneres Produkt der Vektoren S, t) bezeichnet
werden. Dann ist
(25) = O
die Bedingung für das Senkrechtstehen zweier Vektoren und
(26) = -2
das Quadrat der Länge l des Vektors F. Für t s haben wir dann
(27) ^' 1.
Allgemein bedeutet das skalare Produkt g.t) das Produkt der
Längen mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
Sind X und t> beide von einem Parameter abhängig, so wird das
skalare Produkt folgendermaßen differenziert:
df
(28) Ydt xyi=- Zxi y +:xyi,
was sich abgekürzt so schreibt:
(29) dt () +
~ 3. Schmiegebene.
Legen wir durch drei Kurvenpunkte t, t + h, t -- k die Sehnenvektoren
{^^__t_ - (t+h) (t) )+ a+ (t) + ().
(30) ~= ^ ~ ^ ) ^ )+ (t)+ r ~)+...,