Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 103. Studys Übertragungsprinzip. 191
Neben das System der gewöhnlichen komplexen Zahlen a -- ib
mit i -- 1 tritt nämlich in mancher Hinsicht gleichberechtigt das
System der sogenannten,dualen Zahlen" a + eb des englischen Geometers W. K. Cliford (1845-1879). Dabei sollen a und b reell sein,
und die neue Einheit e genügt der Rechenregel e2 = 0. Für diese
dualen Zahlen gilt z. B. wieder das Vertauschbarkeitsgesetz der Multiplikation, aber es kann natürlich ein Produkt verschwinden, ohne
daß irgendein Faktor Null wird. Die Division ist nur dann zulässig,
wenn der Divisor von Null verschiedenen Realteil hat, also kein,Nullteiler" ist. Wie man die analytischen Funktionen (Potenzreihen) auf
duale Veränderliche überträgt, lehrt das Beispiel:
cos (a -- eß) = cosacoseß - sin a sin ß,
cose = l -(2 +.... l,
(1) l
sin eß = e - (6s +
cos (a + eß) = cos a - eß sin.
Wir führen nun zunächst Plückers Linienkoordinaten ein. Eine
Gerade 91 sei durch zwei auf ihr liegende Punkte S und t bestimmt.
Wir setzen
(2) a= ( - ), a = (x ),
wo p einen von Null verschiedenen und im übrigen beliebigen Faktor
bedeutet. Die sechs Komponenten ak, ~. dieser beiden Vektoren sind
Plückers homogene Koordinaten der Geraden 2f. Sie sind offenbar
an die Bedingung
(3) a =0
geknüpft. Wir wollen nun, um den Faktor 9 festzulegen, überdies
(4) a- 1
fordern, was im reellen Falle, auf den wir uns hier in der Regel
beschränken, auf zwei verschiedene Arten erreichbar ist. Jetzt können
wir die beiden Vektoren a, a zur Kennzeichnung der gerichteten,
d. h. mit einem Durchlaufungssinn versehenen Geraden 2f nehmen,
und zwar gibt der Vektor a die Richtung. In der Ausdrucksweise
der Mechanik ist der zweite Vektor a das ~vektorielle Moment" der
in der Geraden 9I wirkenden Einheitskraft a um den Ursprung. Die
Bedingung dafür, daß ein Punkt S auf 21 liegt, ist
(5) SXa=a.
Wir berechnen den Fußpunkt a des Lotes vom Ursprung auf 1. Es ist
(6) a-a X a>.
Tatsächlich liegt nach (5) dieser Punkt auf 91, denn es ist nach (43)
in ~ 3
a X a =(a= - (aa a a = d,