Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 101. Erste Variation von H und K. i85
Es soll hier mit einigen Worten über die Schlüsse berichtet
werden, die H. A. Schwarz in seiner berühmten Festschrift von 1885'23),
die für die Begründung der Integralgleichungen in der Dissertation
von E. Schmidt neuerdings vorbildlich geworden ist, aus der Formel (35)
für 62 0 bei Minimalflächen gezogen hat.
Genau wie in ~ 83 findet man mittels der Überlegung von Bliss
aus der Bedingung 62 0 0 die Bedingung von Jacobi für das vorliegende Problem von Plateau, nämlich
2 n + A —Xzn - 0.
Dabei bedeutet /\ m den zweiten Differentiator Beltramis bezüglich
der quadratischen Differentialform III, d. h. bezüglich des Bogenelements des sphärischen Bildes. Führen wir noch einen auf der
Kugel unveränderlichen Parameter 2 in unsere Differentialgleichung ein:
(36) 22 + 1- \n z= 0,
dann können wir das Ergebnis von Schwarz so aussprechen:
Dafür, daß bei festgehaltenem Rand eine Minimalflöähe den kleinsten
Wert der Oberfläche unter den benachbarten Flächen ergibt, ist notwendig,
daß alle Eigenwerte 2 der Differentialgleichung (36) der Bedingung
(37) > 1
genügen, und hinreichend, daß
(38) >
Dabei heißt die Konstante 2 ein Eigenwert von (36), wenn es eine
nichttriviale Lösung n dieser Gleichung gibt, die auf dem Rande
verschwindet.
L. Lichtenstein hat diese Ergebnisse von Schwarz neuerdings auf
allgemeinere Variationsprobleme übertragen24).
~ 101. Erste Variation von S und K.
Zum Abschluß dieses Kapitels sei noch festgestellt, wie sich die
beiden Krümmungen H und K einer Fläche r (u, v) bei einer ~Normalvariation"
r(u, v),v) + n(U, v) ^(u, v),
n (u, v)= G h (u, v), e -> 0
ändern. Durch Ableitung erhält man
u -Ki- n e, +- n, e,
\tu == ^Uu + n ^uu + 2nu ^it + nu t
Xit = ^u +2 + + n ^ V + nit ^, + nv e- + nu V
= v + n ev +2 + u2 n
23) Ebenda, S. 223-269.
24) L. Lichtenstein, Untersuchungen über zweidimensionale reguläre Variationsprobleme I. Monatshefte für Math. u. Phys. 28 (1917), S. 3-51.