Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 2. Tangente. 3
der positive Sinn auch den zunehmenden t-Werten entsprechen. Für
den Bogen als Parameter (s- ~ t + konst.) ist kennzeichnend
(13) x1 2 +x 2 x +x 2 2 _ x.
Als einfachstes Beispiel für eine unebene Kurve nehmen wir
eine Schraubenlinie auf einem Kreiszylinder vom Halbmesser a
(14) x - acost, x a sin t, xs = bt.
Wir finden
(15) x= - a sin t, x2' a cos t, b
und daraus
(16) s= ta2+b.
~ 2. Tangente.
Als,Koordinaten" des,Vektors", der vom Kurvenpunkt x (t),
x2 (t), x3(t) zum Kurvenpunkt x, (t + h), x, (t + h), x8'(t - h) hinführt,
können wir die Differenzen
(17) xi (t + h)- x (t)
bezeichnen. Zwei Vektoren heißen gleich, wenn die entsprechenden
Koordinaten übereinstimmen. Der Vektor vom Ursprung zum Punkt xi (t)
soll mit r (t) bezeichnet werden. Definiert man dann die Linearkombination von Vektoren durch die Linearkombination entsprechender
Koordinaten, so können wir den Vektor mit den Koordinaten
(x (t + h) - xi (t)
(18)
mit, ( -- h) - ( (t)
(19) h
bezeichnen. Dieser Vektor hat dieselbe Richtung wie die Verbindungssehne der Kurvenpunkte, die zu den Parameterwerten t und t -+ h gehören. Für h- 0 geht der Sehnenvektor über in den "Tangentenvektor"
(20) r' (t) mit den Koordinaten x' (t)
an der Stelle t. Deutet man 1 als Zeit, so nennt man ' (t) den
Geschwindigkeitsvektor".
Als Grenzlage der Sehne ergibt sich so die Tangente, die mittels
eines Parameters r folgendermaßen dargestellt werden kann:
(21) r[= 77+, D
d. h. ausführlich:
(22) i = Xi + r i',
so daß, wenn alle xi' + 0 sind,
(23) ~ y-x~ y~ -x~ y~-~x3
(23) r= Yx, '2 Y3 - 1
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