Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 99. Konvergenzbeweis von Wilhelm Gross. 181
Es läßt sich eine stetige Funktion 0 (p) angeben, so daß für
q > 0 auch 0 > 0 ist und daß zu jeder Eifläche ~, die die Kugel Ro
enthält und um p9 über die zu ~ inhaltsgleiche Kugel e hinausragt,
zwei Kugeln des Inhalts 0 ermittelt werden können, die eine g in:
außerhalb k, die andre (' in R außerhalb 5 (Fig. 36).
Wir schlagen um o die Kugel, die über e um die Schale vom
Inhalt 99 hinausragt. Diese neue Kugel liegt sicher nicht ganz außerhalb des zu S inhaltsgleichen $. Also gibt es auf der Oberfläche
der neuen Kugel einen Punkt p in:. Wir konstruieren die Kugel
(Fig. 37), die K von außen und den Kegel, der von p als Spitze
an So gelegt ist, von innen berührt. Der Inhalt der so gefundenen Kugel (Fig. 37), die sicher in ~ liegt, sei 01(p). Andrerseits ragt die Kugel um o innerhalb k, die mit e zusammen eine
F. 3.
Fig. 36. Fig. 37.
Schale des Inhalts 99 begrenzt, sicher über i hinaus. Wir können
daher in dieser Schale eine Kugel ermitteln, die die beiden die Schale
begrenzenden Kugeln berührt, und die außerhalb 3 liegt. Ihr Inhalt
sei P (Qg). Wir können ihren Mittelpunkt etwa auf dem Fahrstrahl
wählen, der von o nach dem am nächsten liegenden Punkt von 7
hinweist. Die so erklärten Funktionen P1 (9p), 02 (p) könnte man
elementar berechnen. Sie sind aber sicher stetig und positiv. Die
kleinere unter ihnen
(9)=| 2 { i q(99) + O-(9)) -2 1 0 (f) - ( I) T
hat die behauptete Eigenschaft. Da bei wachsenden 90 die Kugeln
2, C5' offenbar größer werden, so ist die Funktion (99p) sicher
monoton zunehmend.
Jetzt wollen wir ~ so zu einer Eifläche ~ symmetrisieren, daß
die Symmetrisierungsrichtung (x3- Richtung in der Bezeichnung von
~ 97) in die Verbindungsgerade der Mittelpunkte der Kugeln ( und
C' fällt und die Symmetrieebene (x = 0) durch o hindurchgeht. Dann