Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 98. Wirkung von Steiners Symmetrisierung auf die Oberfläche. 179
Man erhält
(p W == JJ ---— C --- — du dv.
" (t) -= J- {A+B'(( )+C _}3/, t-))) d dv.
Daraus ist aber 0"(t) _ 0 ersichtlich und somit die Behauptung bewiesen, daß die Oberfläche beim Symmetrisieren im allgemeinen abnimmt.
Es bleibt noch die Frage zu erledigen: wann bleibt die Oberfläche beim Symmetrisieren erhalten? Dazu ist notwendig, daß
0P"(t)= 0 für alle - 1 <t < + 1 und daher
(31) A + A =B+B=O0,
da C im Innern des Integrationsbereichs + 0 ist (+3 + 0). Aus (31) und
C- C -=C
ergibt sich aber, daß der obere und untere Flächenteil zu einer
Ebene x = konst. symmetrisch sindl6).
Wir finden also zusammenfassend: Steiners Symmetrisierung verwandelt jede reguläre Eifläche wieder in eine reguläre Eifläche, die zur
ersten inhaltsgleich und in der Regel kleiner an Oberfläche ist. Die
Oberfläche bleibt nur in dem trivialen Fall ungeändert, daß schon die
ursprüngliche Fläche senkrecht zur Symmetrisierungsrichtung eine Synmmetrieebene hatte.
Die einzige Eifläche, bei der dieser Ausnahmefall für jede Richtung zutrifft, ist die Kugel. Denn diese Eifläche hat zunächst sicher
drei paarweis senkrechte Symmetrieebenen, also deren Schnitt zum
Mittelpunkt o. Dann muß jede Ebene durch o Symmetrieebene sein.
Somit wird die Eifläche alle Geraden durch o senkrecht durchschneiden,
was wirklich nur bei der Kugel der Fall ist.
Damit ist aber gezeigt: Jede nichtkugelige Eifläche kann man
durch Symmetrisierung in eine inhaltsgleiche mit kleinerer Oberfläche
verwandeln. Falls daher die isoperimetrische Grundaufgabe der räumlichen Geometrie unter den regulären Eiflächen überhaupt eine Lösung
hat, so kann diese Lösung nur die Kugel sein.
Das ist der Gedanke von J. Steiners Beweis aus dem Jahre 183617).
~ 99. Konvergenzbeweis von Wilhelm Gross.
Wenn man das Vorhandensein einer Lösung unsres isoperimetrischen Problems als selbstverständlich ansieht, so ist mit dem Er16) Man kann zu dem eben geführten Nachweis auch folgenden Mittelwertsatz von 0. Hölder (1884) heranziehen
~ (-1)-2 ~ (0)+ ~ (+ 1)= ~" (h); I h <1,
17) J. Steiner, Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. Werke II,
S. 75-91.
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