Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

178 Extreme bei Flächen.
Bevor wir zur Verkleinerung der Oberfläche übergehen, soll gezeigt werden: Ist die den Eikörper k begrenzende Eifläche 3 durchweg regulär und analytisch, so hat auch die Begrenzung i* von k*
diese Eigenschaft. Eine Singularität könnte nämlich höchstens dort
entstehen, wo die Tangentenebenen von i vertikal, d. h. parallel x3
sind. Für eine solche Stelle läßt sich durch geeignete Achsenwahl
die Darstellung
x = a x -2 + 2 b x xs + c x3 +...
herbeiführen mit a, c, ac - b2 > 0. Für die symmetrisierte Eifläche $*
ergibt sich dann an der entsprechenden Stelle die Entwicklung
ac-b2 o o
x = - Xa 2 CX3 +...,
woraus die Regularität von i* einleuchtet.
~ 98. Wirkung von Steiners Symmetrisierung auf die
Oberfläche.
Zum Beweis für die Oberflächenverringerung zerschneiden wir
unsre Eifläche 2 durch die Kurve der ~vertikalen Tangentenebenen in
zwei Teile, in den "oberen" Teil ~ und den unteren Ö. Beide beziehen wir auf Parameter u, v, so daß
x1(u, v) -= x(u, v) = x1(u, v),
X2(u, ), Vv) X x(u, v)
wird. Wir setzen ferner
1 +-t
3(u, v; t) " — (, v) + X3 (, v)
und
(t) = SS1VA2 -B2+C2du dv;
a8 a x x ax dx l xt - 1-t
A - = -- A A-,
öu av av au 2 2
9axax a8x 9a x1 - i t
l B t B
au av av au 2 --
C ax ax2 ax ax
au av av au
<(/1c) <Dann drückt sich unsere Behauptung über
_^(0O) (4^+) die Verkleinerung der Oberfläche durch! ^~~H e~ ~Symmetrisierung durch die Formel aus: ~-1:^ ~1 (30) 0(+ 1) - 20 (0) +0P(- 1)o0.
o --- o — In der t, - Ebene bedeutet (30) (vgl.
Fig. 35. Fig. 35), daß der Mittelpunktder beiden
Punkte — 1, P(- 1)und + 1, 0(+ 1)
über der Stelle 0, q0(0) liegt, was durch die Konvexitätsbedingung
@" (t) _ 0, für - 1 < t < + 1 sichergestellt wäre.