Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

176 Extreme bei Flächen.
hindurchgeht. Wickelt man R in die Ebene ab, so geht (E in eine
geschlossene ebene Kurve (* über, deren Flächeninhalt F gleich der
Oberfläche des Kegels R, also wegen der Kleinsteigenschaft der
Minimalfläche D sicher > 0 ist, und deren Umfang L ist. Nach
~ 27 gilt
(28) L — 4 TF O
und wegen
(29) F > O
folgt die zu beweisende Behauptung
L2 - 4zT0 L2 - 4nF > 0.
Es bleibt nur noch festzustellen, wann in (27) die Gleichheit gilt.
Dazu muß sowohl in (28) wie in (29) das Gleichheitszeichen richtig
sein. Ist F 0, so muß A eine Minimalfläche sein.- Da nun die
Ebene als einzige (reelle!) Fläche gleichzeitig Torse und Minimalfläche
ist, so ist - == eine Ebene. Für eine ebene Kurve (i*= (- gilt
aber nach ~ 27 nur dann L2 = 4ntF, wenn ( ein Kreis ist. Damit
ist auch noch der Einzigkeitsbeweis erbracht.
Es sei noch einmal der Unterschied zwischen den,Randwertaufgaben" von Björling (~ 95) und Plateau (~ 90) hervorgehoben. Bei
Björling soll durch ein offenes Kurvenstück eine Minimalfläche gelegt
werden, die längs dieser Kurve gegebene Tangentenebenen hat. Bei
Plateau hingegen handelt es sich um das mathematisch ungleich
schwierigere Problem, die Minimalflächen durch eine geschlossene Kurve
zu bestimmen, so daß die Kurve ein einfach zusammenhängendes
Stück der Minimalfläche berandet. Legt man mittels der Formeln
von Schwarz (~ 95) durch einen geschlossenen Streifen die Minimalfläche, so wird der Streifen in der Regel kein reguläres, einfach zusammenhängendes Stück ihrer Fläche begrenzen.
~ 97. Isoperimetrie der Kugel.
Das einfachste Gegenstück zur isoperimetrischen Eigenschaft des
Kreises in der Ebene ist in der räumlichen Geometrie nicht der im
letzten Abschnitt auseinandergesetzte Satz Carlemans, sondern die entsprechende Eigenschaft der Kugel, unter ~allen" geschlossenen Flächen
mit gegebener Oberfläche den größten Rauminhalt zu umgrenzen, oder,
was auf dasselbe hinausläuft, bei gegebenem Rauminhalt kleinste
Oberfläche zu besitzen.
Es sei zunächst darauf hingewiesen, wie man die Differentialgleichung des Problems aufstellt. Für die Variation der Oberfläche
hatten wir in ~ 89 die Formel
8 -= - 2 f n.H.do