Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 96. Ein Satz von T. Carleman über den Kreis. 175
Schwarz hat bemerkt12), daß hierin die besonderen Ergebnisse
enthalten sind:
Enthält eine Minimalfläche eine (nicht isotrope) gerade Linie, so
führt eine Drehung durch den Winkel nz um diese Gerade die Minimalfläche in sich selbst iber.
Liegt auf einer Minimalfläche eine (etwa reelle) ebene geodätische
Linie, so ist die Fläche zur Ebene dieser Kurve symmetrisch.
Entsprechend beweist man nach Study13): Ein konischer Doppelpunkt einer Minimalfläche ist stets Mittelpunkt der Fläche.
~ 96. Ein Satz von T. Carleman über den Kreis.
Wir haben in ~ 26 und ~ 27 die isoperimetrische Haupteigenschaft des Kreises bewiesen, unter "allen" geschlossenen, ebenen
Kurven gegebenen Umfangs den größten Flächeninhalt zu umgrenzen.
Diese Tatsache läßt sich, wie T. Carleman gefunden hat14), in bemerkenswerter Art auf die räumliche Geometrie übertragen. Hier
soll das Ergebnis Carlemans unter engeren Voraussetzungen, dafür
aber auf sehr anschauliche Art hergeleitet werden.
Spannt man über eine geschlossene räumliche Kurve, die man
sich durch einen Draht verwirklicht denken möge, ein dünnes Flüssigkeitshäutchen - etwa einer Seifenlösung - aus, so ist dessen Gleichgewichtsfigur die Minimalfläche, die von allen über die Kurve ausgespannten Flächen die kleinste Oberfläche besitzt. Der mathematische Nachweis für das Vorhandensein einer Lösung dieses "Problems
von Plateau" ist unter recht allgemeinen Voraussetzungen über den
Rand von S. Bernstein'1) erbracht worden.
Gehen wir von einer geschlossenen Raumkurve ( vom Umfang L aus, und nehmen wir an, es gehe durch eine Fläche D
kleinster Oberfläche. 2D ist dann eine Minimalfläche, ihre Oberfläche
sei 0. Es soll nun gezeigt werden: Zwischen L und 0 besteht die
Beziehung
(27) L —4rOt O,
und es ist nur dann L2 - 4z0 = 0, wenn (E ein Kreis ist.
Beschränkt man sich auf ebene Kurven (E, so erhält man den
alten isoperimetrischen Satz (~ 26) als Sonderfall.
Zum Nachweis wählen wir auf (E einen beliebigen Punkt g aus
und bestimmen die Kegelfläche k, die e zur Spitze hat und durch (
13) E. Study, Leipziger Berichte 63 (1911), S. 23, 26.
14) T. Carleman, Zur Theorie der Minimalflächen. Math. Zeitschr. 9 (1921),
S. 154-160.
15) S. Bernstein, Mathem. Annalen 69 (1910), S. 126, 127.