Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

2 Kurventheorie.
so ist die Länge eines unserm Kurvenbogen einbeschriebenen Vielecks
(4) an= Z V{X (k) - l (1k)}2 +...
k=l
Wendet man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an, so wird
(5) = 2 (k - tkl)V ' (1t))2 + x2, ((2)) + X' (t 3),
k=l
wobei
(6) t_-< t(i) ~ t; i = l, 2, 3.
An Stelle der drei Mittelwerte t() soll ein einziger rk gesetzt und
der entstehende Fehler abgeschätzt werden:
( 7 ) Vx1' (gt~) +... — +/x ' (k)1 +...
x{x' (tk - X' () (} {x (tk)) + X 1 (xk)} + *
V1' (tl))2 +..1+ (vk)2 +...
Wählt man die Zwischenwerte tk so dicht, daß
(8) Xi' (tk) - x (tk-i) <E
wird, was wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der x' in a < t < b
möglich ist, so folgt aus (7)
(9) x 'V (x|))2 +. - V,'+... ( r)2 < x-,(1, ) - X,' (,) +... < 3],
da der Absolutwert der durch den Nenner geteilten zweiten Faktoren
in (7) sicher < 1 ist. Somit ist
(10) o6 - 2 (tk - tk-) VX1 (tk) + x2' (k)2 + x3, (k)2 1 3 (b - a).
Verfeinert man nun die Einteilung to, tl,... tn, so daß e gegen Null
geht, so wird
b
(11) lim__ SdtVx2~+x22 x3,
(i lim 6, =f d t l/xl' + - x," -q x..
a
wie behauptet wurde. Die einzige kleine Schwierigkeit, die zu überwinden war, um auf die übliche Näherungsformel für das bestimmte
Integral zu kommen, war die Verschiedenheit der drei Zwischenwerte t).
Man kann an Stelle von t als neuen Parameter auf der Kurve
den Bogen
(12) s=fVxI/2+x2'22 + x32dt
a
einführen. Zur Festlegung dieses besonderen Parameters ist noch die
Wahl des Anfangspunktes t = a der Zählung (s = 0) und die Wahl
des ~positiven Sinnes" auf der Kurve erforderlich, der wachsenden
s-Werten entspricht. Nimmt man in (12) die Wurzel positiv, so wird