Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

172 Extreme bei Flächen.
Das gibt eingesetzt in das Randintegral
wenn d == Kudu +-. dv das vektorielle Linienelement der Randkurve ist.
Somit erhalten wir schließlich für ö0 die gewünschte allgemeine
Formel
öO= (ö, d, ) - 2 fH ndo,
oder, wenn wir auch noch n durch die Verrückung 6rö ausdrücken:
(20) o0 1= (, d1, ) - ff 2H.(Öö, r~,v) du dv.
Für das Randintegral gilt darin die Zeichenregel: Stellt man sich auf
die Fläche ( (u, v), so daß der Vektor e nach oben weist, so ist das
Randintegral nach links herum zu nehmen, wenn wir voraussetzen,
daß die x -Achse links von der x -Achse liegt.
Die Formel (20) für 60 ist 1829 von Gauß angegeben worden8).
~ 94. Eine Formel von Schwarz für die Oberfläche einer
Minimalfläche.
Wir wollen die Formel von Gauß für 6 0 dazu verwenden, um eine
auf Untersuchungen von Riemann zurückgehende, von H. A. Schwarz
1874 angegebene Formel herzuleiten9), die die Oberfläche eines
Minimalflächenstücks durch ein längs der Randkurve erstrecktes Linienintegral ausdrückt.
Wir betrachten eine Schar ähnlicher und bezüglich des Ursprungs
ähnlich gelegener derartiger Flächenstücke
* (u, u, )= (u,, v), 0<2~1.
Setzen wir
so ist nach der Formel (20) wegen H = 0 und* =*
60* = - ( f (K, dK*, $) =2 6. f(, ds, e).
Hieraus ergibt sich wegen 0*(0) =- 0 durch Integration nach 2l zwischen
den Grenzen Null und Eins die gewünschte Formel
~(21) ""0-~(, dg, e).
Aus (21) folgt z. B., daß man die Vektoren e längs des Randes
sicher nicht beliebig vorschreiben darf. Denn wegen seiner Bedeutung
8) C. F. Gauß, Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu
aequilibrii. Werke 5, S. 29-77, bes. S. 65.
9) H. A. Schwarz, Mathematische Abhandlungen I, S. 178.