Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

170 Extreme bei Flächen.
Beachten wir, daß II =0 die Differentialgleichung der Asymptotenlinien ist, so ergibt sich, daß u, v =konst. oder p ~ q - konst. die
Asymptotenlinien unsrer Fläche sind. Führen wir andrerseits ca,
=konst. als Parameterlinien ein, so fehlt in I und II das gemischte
Glied; also sind diese Kurven p iq = konst. nach ~ 37 (F==0,
M - 0) die Krümmungslinien unsrer Fläche. Hat man also erst die
natürlichen Parameter p, q ermittelt, so sind damit die Krümmungslinien und Asymptotenlinien gleichzeitig aufgefunden.
Die Formeln dieses Abschnitts hat E. Study in einer Vorlesung
1909 angegeben, in der er die Theorie der Minimalflächen neu begründet hat7).
Setzt man wie in ~ 79 die Entfernung P der Tangentenebene
vom Ursprung als positiv homogene Funktion eines (nicht normierten)
Normalenvektors der Fläche an, so lautet nach ~ 78 (35) die Differentialgleichung der Minimalflächen
a2 p 32 p a2 p
+7 + -
~ ~- a- -4 a ~ —0
Hieraus folgt, daß die Theorie der Minimalflächen aufs innigste mit
den Kugelflächenfunktionen zusammenhängt. Darauf soll aber hier
nicht eingegangen werden.
~ 93. Eine allgemeine Formel von Gaujß für die erste
Variation der Oberfläche.
Wir wollen die Formel von ~ 89 für 60 noch einmal unter
der allgemeineren Annahme herleiten, daß die Verrückung ö des
Flächenpunkts in beliebiger Richtung erfolgt. Legen wir beispielsweise die Krümmungslinien als Parameterkurven auf der Ausgangsfläche zugrunde, so lauten die Ableitungsgleichungen nach ~ 48
(135), (136):
Eu Ev
Kuz = + '-E Xt6 ES + L
E Gil
F11V + 2E l 76 + 2G u * n
vvv = E u + 2G Nv, N
und (~ 46):
L N
0u- E - G vWir gehen nun von unsrer Fläche (u, v) zu einer Nachbarfläche
S =. S (, v) + {ö (u, v)
7) Vgl. die Angaben am Schlusse der Abhandlung E. Study, Über einige
imaginäre Minimalflächen. Leipziger Akademieberichte 63 (1911), S. 14-26.