Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 89. Erste Variation der Oberfläche. ~ 90. Die Minimalflächen als Schiebfl. 165
Somit ist die ~erste Variation" der Oberfläche, wenn man an Stelle
von n wie üblich ö n schreibt
60 = - S ön.2H-Wdu dv
oder
(4) SO= -fSön2H.do.
Darin bedeutet do das Oberflächenelement von ( M). Man kommt so
durch die Variation der Oberfläche ganz von selbst zum Begriff der
mittleren Krümmung H, genau so wie wir durch die Variation der
Bogenlänge einer Kurve zu deren Krümmung 1: gelangt sind (~ 22).
Damit hat man wieder ein Hilfsmittel zur Hand, um den Begriff der
mittleren Krümmung auf allgemeinere Maßbestimmungen zu übertragen, wovon wir später Gebrauch machen werden.
~ 90. Die Minimalflächen als Schiebflächen.
Physikalische Betrachtungen bei der Statik dünner Seifenhäutchen
legen das "Problem von J. Plateau"1) nahe: Gegeben sei eine geschlossene Kurve. Man soll über diese Kurve eine Fläche mit möglichst kleiner Oberfläche ausspannen. Haben wir eine Fläche, die,diese Forderung erfüllt, so muß in (4) stets 0 =0 sein für jedes
auf der Randlinie verschwindende 6 n. Daraus folgt, daß auf den
gesuchten Flächen H = 0 sein muß. H -- 0 ist die von J. L. Lagrange
17602) aufgestellte Differentialgleichung der,Extremalen" unsres Variationsproblems. Man nennt deshalb die Flächen mit identisch verschwindender Krümmung, da sie als Lösungen der Minimumaufgabe
Plateaus in Betracht kommen,,Minimalflächen". Es gibt wohl kaum
eine zweite Flächenfamilie, die wie die Minimalflächen die Aufmerksamkeit der größten Geometer auf sich gezogen hätte. So haben,
um nur die wichtigsten Namen zu nennen, J. L. Lagrange, G. Monge,
B. Riemann, K. Weierstraß, H. A. Schwarz, E. Beltrami, S. Lie und
A. Ribaucour Untersuchungen über Minimalflächen angestellt.
Man kann die Bestimmung der Minimalflächen, wenn man sich
von vornherein auf analytische Flächen beschränkt, sehr leicht auf die
Bestimmung der isotropen Kurven (~~ 19, 20) zurückführen und hat
darin wohl das glänzendste Beispiel für die Anwendung imaginärer
geometrischer Gebilde (wie die isotropen Kurven) auf reelle und physikalisch wichtige Flächen. Führen wir nämlich auf einer krummen
Fläche die beiden Scharen isotroper Kurven, für die ds2 =0 ist, als
1) J. Plateau, Recherches experimentales et theoriques sur les figures
d'equilibre d'une masse liquide sans pesanteur. Memoires de l'Academie royale
de Belgique 36 (1866).
2) J. L. Lagrange. Werke I, S. 335.