Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 88. Aufgaben und Lehrsätze. 161
risse auf drei paarweis senkrechte Ebenen, F der auf eine beliebige
vierte Ebene, so ist
(84) F F12 + FF2 + F
Vgl. W. Blaschke, Kreis und Kugel. S. 148.
5. Kugeln in einer Eifläche. Die größte Kugel, die in einer
Eifläche unbehindert rollen kann, hat den kleinsten Hauptkrümmungshalbmesser der Eifläche zum Halbmesser. Vgl. ebenda S. 118-119.
6. Kugeln um eine Eifläche. Die kleinste Kugel, in der eine
Eifläche unbehindert rollen kann, hat den größten Hauptkrümmungshalbmesser der Eifläche zum Halbmesser. Ebenda S. 118-119.
7. Umkehrung eines Satzes von Archimedes über die Kugel.
Aus einer Eifläche werde durch irgend zwei sich schneidende, parallele
Ebenen im Abstand h stets eine Zone mit der Oberfläche 2 n ah
ausgeschnitten. Dann ist die Eifläche notwendig eine Kugel vom
Halbmesser a. Man zeige zunächst, daß die Krümmung konstant
gleich 1: a~ ist.
Die allgemeinere Aufgabe, die man erhält, wenn man a nicht
als unabhängig von der Stellung der Schnittebenen voraussetzt, scheint
ziemlich schwierig zu sein.
8. Eine kennzeichnende Eigenschaft der Kugel. Die einzigen
Eiflächen, bei denen zwischen Krümmung K und Entfernung P der
Tangentenebene von einem Festpunkt o die Beziehung besteht
(85) K -p, c konst.,
sind die Kugeln.
Man zeige zunächst durch Betrachtung der Flächenstellen, wo P
seinen größten und kleinsten Wert annimmt, daß c= 1 sein muß.
Bedeutet nun do das Element der Oberfläche, dco das des sphärischen
Bildes, so folgt aus K 1 -:P2 _ dco: do das Bestehen der Beziehung
(86) SPdo f P3do.
D. h. aber: der Rauminhalt der Eifläche ist gleich dem Rauminhalt
ihrer Fußpunktsfläche bezüglich des Festpunkts o. Bei einer nichtkugelförmigen Fläche liegt nun die Fußpunktsfläche außerhalb der
ursprünglichen Eifläche. Somit ist dann
(87) S Pdo< S P dco.
9. Eidrehflächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien.
Läßt sich zu einer Eilinie e mit der Symmetrieachse 9f ein Kreis S
so angeben, daß jede Parallele zu 91 von E und S gleichlange Bogen
abschneidet, so entsteht durch Umdrehung von ( um 9S eine Eifläche,
deren sämtliche geodätische Linien geschlossen sind. Vgl. G. Darboux,
Surfaces, Beginn des 3. Bandes. Weitere Literatur über Flächen mit
Blaschke, Differentialgeometrie. 11