Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 86. Flächen, deren konjugierte Punkte festen geodätischen Abstand haben. 157
Multipliziert man die erste dieser Differentialgleichungen mit ui, die
zweite mit u, so folgt durch Subtraktion und Integration
f {U(" +Ku)-u (<,+ KZt-v-)}dr - [u'-, Ja f Am u3dr.
n a
a
Da am Rande u und ut, verschwinden, so. folgt
f K ajnd-O
a- udr = 0.
Hieraus ergibt sich leicht die ein wenig allgemeinere Formel (77),
wenn man für u eine Linearkombination mehrerer Lösungen einsetzt.
Die Integration ist längs eines geodätischen Bogens zwischen zwei
konjugierten Punkten zu erstrecken. aK:'an bedeutet die Ableitung
des Krümmungsmaßes senkrecht zu diesem Bogen.
Obgleich von unsren Flächen schon recht viel Eigenschaften bekannt sind, scheint es doch noch ziemlich schwierig zu sein, festzustellen, ob unsre Flächen notwendig Kugeln sind oder nicht.
Es soll hier noch eine kleine Warnungstafel errichtet werden,
ein Hinweis, wie man den Beweis nicht weiterführen darf.
Man ordne unsre Fläche vom Zusammenhang der Kugel zweieindeutig einer neuen Fläche zu, so daß jedem Paar konjugierter
Punkte ein einziger Punkt der neuen Fläche entspricht. Dann hat
die neue Fläche, wie man leicht einsieht, den Zusammenhang der
projektiven Ebene. Das Abbild der geodätischen Linien ist eine
zweiparametrige Kurvenschar mit der Eigenschaft, daß durch irgend
zwei Flächenpunkte genau eine Kurve der Schar geht, und daß zwei
Kurven der Schar stets einen Schnittpunkt gemein haben. Wenn es
auf Grund dieser topologischen Eigenschaften allein möglich wäre zu
beweisen, daß unsre neue Fläche mit ihrer Kurvenschar sich eineindeutig auf die projektive Ebene mit den Geraden der Ebene abbilden ließe, dann wäre unsre ursprüngliche Fläche,geodätisch" auf
die Ebene abgebildet. D. h., daß die geodätischen Linien in die
Geraden übergingen. Nach einem Satz von E. Belerami (~ 74, Aufg. 13)
hätte die Fläche dann festes Krümmungsmaß und müßte wegen ihrer
Geschlossenheit eine Kugel sein (~ 75).
Indessen ist die benutzte topologische Annahme unzulässig: Es
lassen sich in der projektiven Ebene zweiparametrige Kurvenscharen
angeben, so daß durch zwei Punkte eine Kurve der Schar hindurchgeht und zwei Kurven immer einen Schnittpunkt haben, die sich
aber nicht in die Geraden überführen lassen. Dafür hat D. Hilbert
ein sehr anschauliches Beispiel erbracht33). Man schneide aus der
33) D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl. ~ 23, S. 72 u. f. Leipzig
und Berlin 1909.